12代数系统－半群与群11 13.ppt

(3)半群中元素的幂 对于半群V= S, o o 是可结合的，元素的幂: ? x ∈ S 规定：x1=x ,xn+1 = xn o x n ∈ Z+ xn o xm = xn+m (xn)m = xnm （4）独异点中的元素的幂: 独异点 V= S, o，e ? x ∈ S 规定：x0= e ,xn+1 = xn o x n ∈N (5)子半群和子独异点 如果V= S， o 是半群， T?S， T对V中的运算o封闭，则 T， o 是V的子半群． 如果V= S，o，e 是独异点， T?S， T对V中的运算o 封闭，且e ∈T，则= T，o，e 是V的子独异点． 例：设S={( a 0 ) | a,b∈R }二阶矩阵，其上的运算*为矩阵的乘法 0 b 二阶单位矩阵为幺元 a 0 V= S, * ,e 为独异点 T={ (0 0)|a ∈R } T是S的子集且对运算*封闭， 则V1= T, * 是V的子半群 由于 e不属于T ,且V1中没有幺元 所以V1不是V的子独异点 例：设S={a,b,c} 运算表为右边， V=S,*为半群 构造 V1=SS, o 定义函数 fa(x)=a*x fa ∈ SS 其中的运算o为函数的复合 则V1也是半群 例：给定一个正方形，定义以中心做变换：r1：保持不动 r2：逆时针旋转90度 r3：逆时针旋转180度 r4：逆时针旋转270度 定义两个变换的合成运算 aob 表示先进行a变换再进行b变换 可看出：对运算封闭 运算具有结合律 有幺元r1 任意元素a关于合成运算均有逆元a-1 使得aoa-1= a-1oa= r1 很多代数系统均具有以上三个性质 把具有以上三个性质的代数系统抽象出来称为“群” § 10．1 群的定义与性质 一、群的定义 1、定义 设G，? 是代数系统， ? 为二元运算． 如果? 运算是可结合的，存在单位元 e ∈ G， 并且对G中的任何元素x都有x-1 ∈ G，则称G为群。 在含幺半群的基础上添加了条件：每个元素均有逆元 群是半群和独异点的特定情况,有关半群和独异点的性质在群中均成立 2、一个典型的群 例：设G＝｛a,b,c,e ｝ ? 为G上的二元运算 G的运算具有以下的特点： e为G中的单位元； 运算是可交换的； G中任何元素的逆元就是它自己； 在a,b,c三个元素中，任何两个元素 运算的结果都等于另一个元素． 称这个群为K1ein四元群，简称四元群． 三、群的性质 1、定理11．2 设G为群， ?a,b∈G 方程 ax=b和ya=b在G中有解且有惟一解 证明： 因为至少有一个x满足ax=b,即x=a-1b 如果x是G中满足ax=b的任何元素 有 x=ex=(a-1a)x=a-1(ax)=a-1b 故 x=a-1b是满足等式的唯一元素 同理可证满足ya=b的唯一解为y=ba-1 例 设G为群， ?a,b∈G ，k ∈Z+ 证明: (a-1ba)k = a-1ba 的充分必要条件是 bk =b 证 充分性 展开 (a-1ba)k ＝ 因为条件bk =b ＝ a-1ba 必要性 将条件左边展开 利用消去律得到bk =b 5、群中元素的幂(群中元素可以定义负整数次幂 ) 定义： G是群， a∈G ， n ∈ Z 则元素a的n次幂: e n = 0 规定：an = an-1a n0 (a-1)m n0 n=-m 由于群的所有元素a都有唯一的逆元a-1,所以可以定义负整数次幂 6、元素的阶 定义10．4 设G是群，a ∈ G，使得等式: ak=e 成立的最小正整数称为a的阶(a的周期）， 记作 ｜a｜=k 这时也称a为k阶元 若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元 * * 上次课主要内容 一、半群与独异点都是具