14代数系统－循环群12 7.ppt

上次课主要内容 ： 1、子群就是群的子代数． 1）定义 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群， 记作H≤G． 若H是G的子群，且H ? G，则称H是G的真子群， 记作HG． 例、设G是群 对于任意的a ∈G 令S={ an |n ∈Z } 证明S是G 的子群 证：按判定定理二来判断 对任意的an,am ∈S an(am)-1 = an(a-1)m =an-m n- m∈ Z 所以 an-m ∈S 如果a的阶是有限的（为r) 则 S={a,a2,a3,…ar} 推广：1、Zn,+n是循环群 其生成元的集合是： M={a | a ∈Zn 且（a,n)=1互质} 2、素数阶的群 Zn,+n中 除幺元以外的所有元素均为生成元 以整数加群为例 1,2,3,4…均为其无限子群 3.G={a0=e,a1,a2,…an-1} G的每个子群的阶都是n的因子． 证明：n的每个正因子d都存在一个d阶子群 由于H=a n／d是G的d阶子群． 设H1是任何一个G的d阶子群，其中H1=am 最小正方幂元． (am)d=e 那么n整除md 即md／n=l 则有m=(n/d)l 即 am=(an/d)l 是属于H 以N6,+6为例 1,2,3均为其子群 得到结论： 1、无限阶的循环群有且仅有二个生成元 2、阶数为素数的循环群，除幺元外的一切元素为生成元 3、循环群的子群一定是循环群 例：设G是整数加群，求出G的所有子群． 由于G的生成元为1和-1． 所以 1m=m m∈N G的子群是mZ， m∈N． 即 0={0}=0Z 幺元自己生成 m={mz| z ∈ Z}= mZ， m0 如何确定一个群的所有子群 ？ 3）轮换 定义： 设σ是S={1，2，…，n}上的n元置换．若 σ(i1)=i2， σ(i1)=i2, σ(i2)=i3,… σ(ik-1)=ik σ(ik)=i1 且保持S中的其他元素不变，则称σ为S上的k阶轮换， 记作(i1,i2,i3,…ik) 若k=2称 σ为S上的对换． 4）将置换分解为不交的轮换之积 设S={1，2，…，n}，对于任何S上的n元置换σ，一定存在着一个有限序列： i1，i2，…，ik k=1 ，使得 σ(i1)=i2， σ(i1)=i2, σ(i2)=i3,… σ(ik-1)=ik σ(ik)=i1 令σ1=(i1,i2,…ik),是从σ中分解出来的第一个轮换 根据函数的复合定义可将σ写作 σ = σ1 σ’　　　 其中σ’是作用于S-{i1,i2,…ik}上的元素．继续对σ’进行类似的分解 由于S中只有n个元素，经过有限步以后，必得到σ的轮换分解式 结论：任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积 先看例： Sn关于置换的乘法构成的群成为n元对称群 作业：P203 17、18、20、22 * * 2、子群的判定定理 定理10．4(判定定理一) 设G为群，H是G的非空子集．H是G的子群当且仅当下面的条件成立： 1） ?a,b∈H 有 ab ∈H（运算封闭) 2) ?a∈H 有 a-1 ∈H (存在逆元) 定理10．5(判定定理二) 设G为群，H是G的非空子集． 则H是G的子群当且仅当 ?a,b∈H 有 ab-1 ∈H 定理11．6(判定定理三) 设G为群，H是G的非空子集． 如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当?a,b∈H 有 ab ∈H 对运算封闭即可 例、设G为群，H与K是G的子群 证明：H ∩ K是G的子群 证： 1）非空 由于H与K是子群 e∈H 且 e∈K e∈ H∩K 2)运算封闭?a,b∈ H∩K ab ∈ H∩K 3)逆元存在 ?a ∈H ∩ K a∈H a-1 ∈H a∈K a-1 ∈K a-1 ∈ H∩K 对于 H ∪K能否构成G的子群？ 要有条件： 当且仅当 H? K 或 K ? H 例、设G为群， 令C={ a | a∈G且?x∈G有ax=xa} 证明C是G的子群 即群中与任何元素可交换的元素构成 证：1）非空 ?x∈G 由e∈G ex=xe e∈G 2)运算封闭?a,b∈C 有 (ab)x =a(bx)=a(xb)=(ax)b =x(ab)