15代数系统－置换群12 14.ppt

3、素数阶的群 Zn,+n中除幺元以外的所有元素均为生成元 3）轮换 定义： 设σ是S={1，2，…，n}上的n元置换．若 σ(i1)=i2， σ(i1)=i2, σ(i2)=i3,… σ(ik-1)=ik σ(ik)=i1 且保持S中的其他元素不变，则称σ为S上的k阶轮换， 记作(i1,i2,i3,…ik) 若k=2称 σ为S上的对换． 4）将置换分解为不交的轮换之积 设S={1，2，…，n}，对于任何S上的n元置换σ，一定存在着一个有限序列： i1，i2，…，ik k=1 ，使得 σ(i1)=i2， σ(i1)=i2, σ(i2)=i3,… σ(ik-1)=ik σ(ik)=i1 令σ1=(i1,i2,…ik),是从σ中分解出来的第一个轮换 根据函数的复合定义可将σ写作 σ = σ1 σ’　　　 其中σ’是作用于S-{i1,i2,…ik}上的元素．继续对σ’进行类似的分解 由于S中只有n个元素，经过有限步以后，必得到σ的轮换分解式 注：一个轮换中以哪个做为起始元素，只要元素的顺序不变都是同一个轮换 两个轮换中不含相同的元素称为不交的轮换 结论：任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积 先看例： Sn关于置换的乘法构成的群成为n元对称群 可以在抽象的群和具体的变换群之间建立同构映射，从而将任意抽象的群表示为具体的变换群 结论：每个群均同构于一个变换群 每个有限群均同构于一个置换群 对于一个任意群G,* 只要做 ?a∈G 定义双射函数 fa(x)=a*x 令 F={fa | a ∈G } 在函数的复合运算o下构成群 那么 G,*与F,o是同构的 作业：P204 29（3） 29中的置换为： σ 1 2 3 4 5 6 τ 1 2 3 4 5 6 4 5 1 6 3 2 3 1 2 5 6 4 * * 上次课主要内容 1、循环群 设G为群，若存在 a∈G 使得 G={ak| k ∈Z } 则称G是循环群 记作 G=a,称a为G的生成元 2、循环群G＝a 根据元素a的阶可分为：n阶循环群和无限阶循环群。 3、一个循环群的生成元不唯一 两个特殊的循环群： 整数加群 模N的加群 1）若G是无限阶群，则G只有两个生成元 a和a-1 2）若G是n阶循环群， 则G含有ψ（n）个生成元。 0…n-1中与n互质的数的个数 如n=9 与9互质的数有 ψ（9）={ 1，2，4，5，7，8} 4、若G是无限群，则G与整数加群同构 5、 若G是有限群，则G与Zn,+n同构 6、循环群G的子群仍是循环群． 7、若G=a是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群． 8、若G=a是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群． 二、置换群 1、n元置换 定义：设S={1，2，…，n} S上的任何双射函数σ：S → S 称为S上的n元置换，一般将n元置换σ 记为 1 2 3 4 … n σ= σ(1) σ(2) σ(3) σ(4) … σ(n) 1）如果设|S|=n 那么S上有多少不同的置换 共有 n!个不同的置换 ２）置换的乘法-即为关系的复合运算 两个置换的乘积仍是一个S上的置换 1 2 3 4 5 2 3 4 1 5 σ = τ = 1 2 3 4 5 3 2 1 4 5 1 2 3 4 5 2 1 4 2 5 σ τ = 1 2 3 4 5 4 3 2 1 5 τ σ = 1 2 3 4 5 2 3 4 1 5 σ = σ =(1 2 3 4) 4阶轮换 1 2 3 4 5 3 2 1 4 5 τ = τ = （1 3） 为2阶轮换（对换） 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3 6 4 2 1 8 7 σ = = （1 5 2 3 6 ）（4）（7 8 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 8 1 4 2 6 7 5 3 τ = = （1 8 3 4 2 ）（5 6 7 ） 从以上的例子可以看出将一个置换写成轮换的乘积形式是简洁的 存在恒等函数为幺置换 每个置换由于是双射函数，故均存在逆置换 a）在书写时对于1阶轮换可以省略 b）对于恒等置换可简记为 （1） c