2012 中考数学二轮中考专题—最短问题.ppt

专题研究之—— 由“奶站问题”衍生的中考题 引子： 数学题千变万化，中考题变化多端，但都离不开最基本的原理、法则，很多中考题都能在教材上找到原型。 课本原型： （北师大数学七年级下册第228页） 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？ 解：如图，作出A点关于直线L的对称点A’，连结BA’交直线L于P，则P点就是所求。这时PA+PB=PA’+PB=A’B为最小，（因为两点之间线段最短）。 在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1A’，因为P1A+P1B=P1A’+P1BBA’=PA+PB。根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。 挖掘本质 本题特点： 例1：正方形ABCD中，AB=8,M是CD上一点，且DM=2,N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。 解： ∵正方形ABCD, ∴ D关于AC的对称点是点B， ∴连接BM交AC于N,则DN+MN的最小值就是BM的长。由勾股定理得BM=10. 小试牛刀： 1.(温州2009年中考题)如图，在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是_____. 2.（河南省中考题）梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1, ∠B=600,直线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为______. 3.点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，P是半径ON上的动点，圆的半径为1，求PA+PB的最小值。 小 结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 作业：1：如图，∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。 2：如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标； 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 * P1 证明： 一直线同旁有两定点，关键要在直线上利用轴对称确定动点的位置，根据两点之间线段最短，使动点到定点的距离之和最短，我们常常把这类问题称为奶站问题。 D 如图，抛物线 与x轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式； (2) 设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 图12 拓展延伸： .解: (1)∵抛物线y=x2+bx+c与轴的两个交点分别为A(-1,0)，B(3,0) ∴ 解，得 ∴所求抛物线的 解析式为：y=x2-2x-3 图12 如图，抛物线 与x轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式； (2) 设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 图12 拓展延伸： 解法1：在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点Q, 使得ΔQAC的周长最小. ∵AC长为定值，∴要使ΔQAC的周长最小，只需QA+QC最小. ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0), 抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3) ∴Q是直线BC与对称轴x=1的交点 设直线BC的解析式为y=kx-3. ∵直线BC过点B(3,0) ∴ 3k-3=0 ∴ k=1. ∴直线BC的解析式为 y=x-3 ∴当x=1时，y=-2. ∴点Q的坐标为(1,-2). x y D D 解法2： 在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点Q ，使得ΔQAC的周长最小. ∵AC长为定值，∴要使ΔQAC的周长最小，只需QA+QC最小 ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3) ∴由几何