211 1数列极限.ppt

练习 * 第二章 极限与连续 §2.1 数列极限 一、数列 1、概念： 数列函数的定义域是由离散的一系列孤立点构成，不是区间，而是数集。 2、简单性态： 因数列函数定义域的特殊性，故不能考虑其奇偶性和周期性 （1）数列的有界性 【2-1-1】 （2）数列的单调性 单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列，若上述定义中不等号 下不带等号，则称数列为严格单调数列。 【2-1-2】 二、数列极限 1、收敛数列 （1）定义： 【2-1-3】 （2）数学定义的几何意义 X ( ) 【2-1-4】 3、定义理解举例 解： 【2-1-5】 播放 例3. 4、数列极限四则运算法则 【2-1-6】 注： ② 当然，实际计算时，是利用法则将极限计算转化为一些已用定义证明 了正确性的已知结论的数列极限上，利用已知结论进行计算。 ①使用法则求极限时，要首先检查是否满足法则的条件 下面通过一些例题来了解四则运算法则的使用 【2-1-7】 例2 求下列函数极限 解： 【2-1-8】 解： 【2-1-9】 解： 【2-1-10】 解： 【2-1-11】 三、收敛数列极限性质 1、性质1 因此，数列的敛散性与其最初的有限项无关，决定于某一项后的无穷项 2、性质2 3、性质3 思考： 【2-1-12】 4、性质1 夹逼定理（迫敛性定理、两边夹法则） 夹逼定理不但是收敛数列的性质，而且是一种非常有用的极限计算方法，通过对极限式进行放大和缩小，将极限的计算转化到较易计算的一些极限式的计算上。 例3 求下列数列的极限 【2-1-13】 解：（1） 【2-1-14】 【2-1-15】 5、性质5： 单调有界数列一定收敛 （1）性质的分解： 性质的结论可分解为单调递增且有上界数列一定收敛和单调递减且 有下界数列一定收敛两个方面 （2）性质结论仅为充分而不必要的结论，即满足条件一定收敛，但收敛 数列不一定单调有界，当然，有界性是必要的，不具有必要性的是单调性 如 收敛于0，但不是单调数列 此性质在考察数列单调性上非常有用，当然，也可用于极限计算 【2-1-16】 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: （3）应用举例 例4 证明： 先用数学归纳法证明伯努利不等式 所以依数学归纳法原理知伯努利不等式的结论成立 【2-1-17】 证 (舍去) 【2-1-18】 【2-1-19】 *