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* 3.3 二阶系统的时域分析 一、典型二阶系统的数学模型 开环传递函数： 闭环传递函数： 式中： 称为二阶系统的无阻尼振荡频率或自然振荡频率，单位是rad/s， 称为二阶系统的时间常数， 称为阻尼比，一般无量纲。 - 例：RLC串联电路微分方程为 ， 其传递函数为 比照标准二阶系统模型，可以得到： 式中： 称为二阶系统的无阻尼振荡频率或自然振荡频率，单位是rad/s， 称为二阶系统的时间常数， 称为阻尼比，一般无量纲。 式中： 称为二阶系统的无阻尼振荡频率或自然振荡频率，单位是rad/s， 称为二阶系统的时间常数， 称为阻尼比，一般无量纲。 二、二阶系统的闭环极点 二阶系统的闭环特征方程式： 特征根（闭环极点）为： 显然随着阻尼比 取值的不同，闭环极点的分布也不同。 等幅周期振荡 单位阶跃响应 衰减振荡 极点位置 特征根 阻尼系数 单调上升 两个互异负实根 单调上升 一对负实重根 一对共轭复根(左半平面） 一对共轭虚根 三、二阶系统的阶跃响应 （1）欠阻尼（ ）二阶系统单位阶跃响应 称为阻尼振荡频率 特征根s1,2、自然振荡频率 、振荡频率 、阻尼角 的关系： 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为： 分析欠阻尼二阶系统单位阶跃响应表达式，可以得出如下结论： 第一，暂态响应为 ，稳态响应为 ； 第二，由暂态响应表达式可知其响应呈振荡衰减形式，其中振荡频率为 ，初相位角即是阻尼角 ，振幅按指数衰减； 第三，阻尼比 的减小将导致系统响应的振荡加剧，且衰减速度变慢。 误差响应函数： 由此可见误差的响应函数也是一个指数衰减的振荡响应形式。 （2）无阻尼（ ）二阶系统单位阶跃响应 特征根： 单位阶跃响应： 分析结论：无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线呈等幅振荡形式，其振荡频率为 ，幅值为1。 误差响应函数： 可见误差响应函数也是等幅振荡形式，系统得不到稳态误差。 （3）临界阻尼（ ）二阶系统单位阶跃响应响应 特征根： 单位阶跃响应： 分析结论：临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线按指数单调上升形式，但由于是重极点，所以响应中增加了 一项 。 误差响应函数： 可见误差响应函数是一个指数衰减的响应形式。 （4）过阻尼（ ）二阶系统单位阶跃响应响应 特征根： 分析结论： 第一，由于两个特征根均为负实数，所以其响应实际上分解为两个衰减指数项的线性组合，组合后的响应曲线是非振荡的单调上升形式。 单位阶跃响应： 式中： 第二，响应速度由两个时间常数 共同决定。 当T1 T2（一般3倍以上）时，系统可近似为一个一阶系统，此时系统的调节时间为： 四、欠阻尼二阶系统性能指标 解得： （1）上升时间 ：根据定义，当 时，c(t)=1。 ，取k＝1 整理得： 由于 出现在第一次峰值时间，取k=1，有： （2）峰值时间 ：当 时， （3）超调量 ： 由超调量的定义： 由 ，得 从上式可知超调量 仅与阻尼比 有关，而与自然振荡频率无关。 结论：阻尼比 越小，则超调量越大；阻尼比 越大，则超调量越小。 （4）调节时间 ： 由调节时间 的定义，当 时， 于是有： 当 时，调节时间的近似计算公式为： 结论： 第一，调节时间 与 成反比，即与极点的实部数值成反比。说明极点距离虚轴越远，系统的调节时间越短。 第二，超调量 与自然振荡频率 无关，故可以在保持阻尼比 不变的前提下，适当增大自然振荡频率