4 函数的极值与最值.ppt

第四节 例4. 求函数 二、函数的最值 三、经济应用举例 作业： * 二、函数的最值 一、函数的极值及其求法 函数的极值与 最值问题的应用 第四章 三、经济应用举例 一、函数的极值及其求法 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注：1.极值是局部性的概念,最值是整体概念. 2.极大值不一定比极小值大. 3.极值只在区间内部取得，最值可以在区间 端点处取得. 4.极值点左右区间上的单调性相反. 定理1(必要条件) 由费马引理可知， 导数等于零的点称为驻点. 对可导函数来讲,极值点必为驻点, 但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件. 另一方面, 不可导点也可能是极值点, x y O x y O 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别这些可疑点是否为极值点. 定理2(极值存在的第一充分条件) 一阶导数变号法 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 例2 解 定理3(极值存在的第二充分条件) 称为“二阶导数非零法” 说明： (1) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点； 例3 解 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. (1) 确定函数的定义域； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形. 求极值的步骤: (3) 求定义域内部的极值可疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； 极值是局部性的,而最值是整体性的. 具体求法： 例4 解 计算 比较得 更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有惟一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点. 则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点； 说明: 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 例5 解 a x a-2x 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 例5 解 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 解 例5 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？ h r 设底半径为r, 高为h， 总的表面积为 例6 解 即表面积最小. 即高与底面直径相等. 由实际问题,此时表面积最小. 1.平均成本(AC)最低问题 例7 设成本函数为 则平均成本为 得驻点 此时平均成本和边际成本均为4. 一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等. 2.最大收益问题 例 解 得唯一驻点 令 3.最大利润问题 例8 利润函数为 解 得驻点 *