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第一章 航海专业数学基础 第一节 球面三角 一．球面几何 1．球面和球面上的园 1）球面和球 球面(spherical surface)：半个圆周绕其直径旋转360而成的旋转面称球面。 球：球面所包围的几何体称球。 球的半径： 球的直径： 2）球面上的圆 （1）大圆(great circle)：过球心的平面和球面相截的截痕。 （2）小圆(small circle)：不过球心的平面和球面相截的截痕。 ①过球面上不在同一直径两端的任意两点，只能有一个大圆，却能作无数个小圆。 ②一个球面上不可能有两个大圆平行，两个大圆的平面的交线是他们的直径，并且两个大圆互相平分。 2．球面角和球面距离 1）轴、极、极距、极线 （1）轴(axis)：垂直于任一圆面(大圆或小圆)的球直径。 （2）极(pole)：轴与球面相交的两点。 （3）极距(polar distance)：从大圆弧或小圆弧上的一点到极的大圆距离，又称该圆的球面半径。球面半径并非球的半径。 （4）极线：极距为90的大圆弧又称为极线或称为赤道(equator)。 2）球面角及其度量 （1）球面角(spherical angle)：球面上由两个大圆弧所构成的角。 其交点叫做球面角的顶点。 （2）球面角的三种度量方法： ①切于顶点的大圆弧的切线的夹角。 ②顶点的极线被其两边大圆弧所截的弧长。 ③极线上的弧所对应的球心角。 3）球面距离的距离和最近距离 （1）球面距离：连接球面上两点的大圆弧长，以大圆弧所对应的球心角用度、分、秒来度量。 （2）球面上两点间的最近距离：过球面上两定点间小于180o的大圆弧(劣弧)。 4）圆心角相等的大圆弧与小圆弧的长度关系。 结论：地球纬度圈与赤道的长度关系： 例题见教材。 二．球面三角形 1．球面三角形(spherical triangle) 1）球面三角形及其六要素 球面三角形：在球面上由三个大圆弧所围成的三角形称为球面三角形。 球面三角形六要素:构成球面三角形的三个角和三个边。 航海上研究的是六个要素均大于0o而小于180o的欧拉球面三角形。天文定位实质上就是解天文球面三角形。 2)球面三角形的分类 （1）球面等腰三角形和球面等边三角形。 两边或两角相等的三角形称球面等腰三角形。 三边或三角都相等的三角形称球面等边三角形。 （2）球面直角三角形和球面直边三角形。 至少有一个角为90o的球面三角形称为球面直角三角形。 至少有一个边为90o的球面三角形称为球面直边三角形。 （3）球面初等三角形(primary triangle)。 三个边相对于其球半径来说非常小的球面三角形称为球面小三角形(三个角不会很小)； 只有一个角及其对边均甚小的球面三角形称为球面窄三角形； 而球面小三角形和球面窄三角形统称为球面初等三角形。 （4）球面任意三角形。 凡不具有特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形。 3）球面三角形的关系 （1）球面全等三角形。 在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形。 （2）球面相似三角形。 在半径不同的球面上，边角度数对应相等的三角形。 （3）球面对称三角形 从球面三角形的三顶点作直径与球面交得另外三个顶点，相连得到另一球面三角形。 （4）球面极线三角形(polar triangle)。 球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形，称为球面三角形的球面极线三角形。 4）球面三角形的性质 （1）球面三角形与三面角的关系 （2）球面三角形的每一边必大于0o而小于180o，三边之和大于0o而小于360o（3）球面三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （4）球面三角形的每一角必大于0o而小于180o，三个角的和大于180o而小于540o （5）球面三角形三角之和超出180o的部分称为球面盈角。 （6）球面三角形两角之和减去第三角小于180o （7）球面三角形的外角小于相邻的两内角之和而大于它们之差。 5）球面三角形的成立条件 （1）当给定了球面三角形的三个边时： ①任一边应大于0o，小于180o； ②三边之和大于0o，小于360o； ③二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。 （2）当给定了球面三角形的三个角时： ①任一角应大于0o，小于180o； ②三角之和大于180o，小于540o； ③二角之和减去第三角小于180。 （3）若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于0o，小于180o的条件，球面三角形都成立。 （4）若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角，则该三角形