511 3换元积分法.ppt

* §5.3 换元积分法 一 第一类换元法（凑微分法） 1 方法： 2 操作方法： 【5-3-1】 3 常见的换法：依微分的计算有如下一些常用换法 【5-3-2】 【5-3-3】 4 举例 例1 求下列不定积分 【5-3-4】 【5-3-5】 【5-3-6】 例2 求下列不定积分 【5-3-7】 【5-3-8】 【5-3-9】 5 有理函数 的不定积分（补） 若为假有理分式，则首先用多项式除法将有理函数变为多项式与真有理分式的积分，而多项式的积分比较容易求得，因而有理分式的积分问题关键是真有理分式的积分问题，真有理分式的积分主要有以下几个方面： （1）分母为一次形式： 【5-3-10】 （2）分母为二次形式： ①若分母能因式分解，则用待定系数法将被积函数拆成两个分母为一次的分式的和，然后用（1）的结论。 ②若分母不能因式分解，则对分母进行配方，然后利用反正切函数的基本积分公式求解。 【5-3-11】 （3）分母为三次或三次以上：则首先将分母分解成一次和二次的乘积，然后用待定系数法将其拆分成分母为一次和二次的分式积分，再利用（1）或（2）的结论求解。 例3 求下列不定积分 【5-3-12】 【5-3-13】 【5-3-14】 解：首先用待定系数法拆分 比较两边分子，恒等式要求相同次数的系数必须全相等，因此有： 【5-3-15】 【5-3-16】 【5-3-17】 例4 求下列不定积分 【5-3-18】 【5-3-19】 二 第二类换元法 1 方法： 2 操作程序： 3 常用形式： （1）根式代换，如： 注：换元函数要求有确定符号导数，是为了保证其反函数的存在性，从而能换回来。 【5-3-20】 （2）三角代换：在有些含有根式的积分中，为了去掉根式，常使用三角函数关系式来代换能使计算简化，常见的有如下几种形式： （3）倒数代换：这种方式虽不常见，但有时却非常有效。倒数代换即是换为倒数： 【5-3-21】 4 举例 例5 求下列不定积分(根式代换） 【5-3-22】 【5-3-23】 【5-3-24】 【5-3-25】 例6 求下列不定积分（三角代换） 注：处理三角代换的回代一般是放在直角三角形中利用勾股定理计算。 【5-3-26】 *