5稳定性和代数稳定判据.ppt

由于线性系统的稳定性与输入信号形式和初始状态无关，因而只需 要研究系统无论是“什么”激励信号产生的暂态响应，也即系统的自由 运动能否随着时间的推移而消失，因此可以假设系统的初始条件为零， 外部激励为脉冲函数输入信号，即研究单位脉冲响应g(t)，随着时间推 移并趋向无穷大时的衰减和发散情况。这种假设相当于在扰动信号作用 下，输出信号偏离原来的工作状态的情形。 假设线性控制系统的闭环特征方程为： 稳定区域示意图： 3.5 线性系统的稳定性分析 一个线性控制系统能够正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。 控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。 如果系统是稳定，那么随着时间的推移，系统地各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散，即使系统的扰动消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态。 因此，显然不稳定的控制系统是无法正常工作的。因此，如何分析的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论研究的基本任务。 钟摆的运动 平衡点（状态）为A、D，为扰动引起的初始偏差角。对于平衡点A，在扰动消失后，由初始偏差角开始的自由运动随着时间的推移，摆终究会停止运动并回到平衡点A，所以平衡点A是一个稳定的平衡点（状态）；对于平衡点D哪怕是由扰动引起的微小偏差角，在扰动消失后，无论经过多长的时间，摆都不会再回到原来的平衡点D，所以平衡点D是一个不稳定的平衡点（状态）。 D C B A （1）控制系统稳定的实例： 1．系统运动的稳定性 设系统的传递函数为： 特征方程为： 则系统的解为： 其特征根为： 是方程的一个特解，由输入u(t)确定。前两项是相应的其次方程的通解，其中A,B,?是待定常数，由初始条件确定。经充分长时间以后，系统的解 终将进入u(t)的无限小邻域，即完全由输入量确定而与初始条件无关。这在工程上认为系统进入了静态，对应的特解称为静态解或稳态解，则系统是稳定的。 （2）平衡状态 所谓平衡状态从具体的例子中可见实际上就是系统处于“静止”（不动）的状态（点），从数学的观点来定义，平衡状态是指系统运动微分方程的各阶导数匀为零时的运动状态。 （2）系统运动稳定性的描述 稳定性描述：线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。 通过前面关于系统动态性能的分析可知，线性系统由扰动作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，偏差能否“消失”，实际上是指系统的暂态响应能否消失，若暂态响应能消失的，则系统是稳定的，若暂态响应不能消失，则系统是不稳定。对于暂态响应不能消失有2种情况，一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态，另外一种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态，对于等幅振荡情形可以称为临界稳定状态。 结论：线性系统的稳定性，与系统的输入信号、初始状态均无关，它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。 2．线性控制系统稳定性的充分必要条件 系统临界稳定 等幅振荡 3 系统不稳定 发散 2 系统稳定 衰减 1 稳定状态 脉冲响应衰减情况 脉冲函数极限值 序号 若时间 时，脉冲响应函数 趋向于零，则系统是稳定的，若发散则系统不稳定，若等于某个定值则系统临界稳定。 线性系统稳定的充分必要条件为：系统微分方程的特征根的全部根都是都负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于s平面的左半平面。 ， 当特征根出现正实数或实部为正的复数或有极点分布于s平面的右半平面时，线性系统为不稳定；当特征根出现纯虚数或有极点位于s平面的虚轴时，线性系统为临界稳定。 不 稳 定 区 域 稳 定 区 域 临界稳定 S平面 [例3] 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： ，试判别闭环系统的稳定性。 解：闭环统的传递函数为 ，其闭环极点为 、 ，所以系统稳定。 [例1]系统的闭环传递函数为： ，判别系统稳定性。 解：由给定闭环传递函数可知系统的闭环极点分别为 、 ，所以系统稳定。 [例2]已知线性系统的闭环特征方程