7有限差分基础(白).ppt

（1）简单迭代法 迭代的最终目的是求解方程组(7-91)中的T1,T2,…,Tn。 若系数矩阵[A]对角线元素不为0，即aii≠0 (i=1,2,…,n)，则可将式(7-91)改写为： 其中任一方程均可写成 任意给定Ti (0)作为解的第零次近似，把它们代入上式右端，得 （7-99） （7-98） 将对应节点（i, j）的微分方程写成如下形式 式中，θ为加权系数，取值范围为0≤θ≤1。 加权差分格式 加权差分格式为 简化为 当θ=0时，显式格式。 当θ=1时，完全隐式格式。 当θ=1/2时，C-N格式。 当θ=2/3时，加辽金格式。 θ从0到1变化时，可得到不同的差分格式。 对于给定的Δt和Δ，随着θ的增长，计算精度下降，稳定性却越能得到保证。 隐式格式 对于二、三类边界条件，在边界外设立虚节点，使边界节点变换为内节点： 用中心差商近似一阶微商； 边界节点取内节点差分方程。 2. 非稳态问题的边界条件 在开始进行计算的一瞬间（t=0），边界温度突然由T0变为Tw不大合理。因此，实际计算时，应作适当处理。 （1）给定温度Tw 第一步计算(t=0时) 边界节点温度为Tw/2； 完成第一步计算之后 固定温度边界节点保持Tw温度 为提高整个差分格式的计算精度，常用中心差商来代替边界上的一阶微商。为此，在边界外设虚假节点。 （2）给定换热边界条件 在具有边长Δ为正方形网格的二维矩形区域中，有两类节点：一类是边上（如节点1），另一类在角上（如节点0）。 对于边节点1 在边界外与节点2对称的位置设以虚假节点2’。这样，换热边界条件中的偏微商可用中心差商近似。 节点1变为内节点，其显式差分方程为 将T2’n表达式代入上式，消去T2’n后，可得 上式即为边界节点1的差分方程，其截断误差为O(Δ2)，与内节点差分方程的相一致。 或写成 用中心差商代替边界条件中的偏微商，得 λ(T2n－T2’n) /(2Δ)=h(T1n－Ta) T2n + T2’n + T4n + T0n－(4－1/F0)T1n= T1n+1 / F0 T2’n = T2n－2Bi(T1n－Ta) T1n+1 = F0[T0n + 2T2n + T4n + 2BiTa + (1/F0－4－2Bi)T1n ] 同样可得换热边界条件的隐式差分格式： T1n = F0[-T0n+1 - 2T2n+1 - T4n+1 - 2BiTa + (1/F0+4+2Bi)T1n+1 ] 对于角节点0 在1和3的对称位置设虚节点1’和3’，在x，y方向分别应用中心差商格式 λ(T3n－T3’n) /(2Δ)=h(T0n－Ta) T3’n = T3n－2Bi(T0n－Ta) λ(T1n－T1’n) /(2Δ)=h(T0n－Ta) T1’n = T1n－2Bi(T0n－Ta) 或 内节点0显式差分格式为 同样可以隐式形式表示 T3n + T3’n + T1n + T1’n－(4－1/F0)T0n= T0n+1 / F0 T0n+1 = 2F0 [T1n + T3n + 2BiTa + (1/(2F0)－2－2Bi)T0n ] T0n = 2F0 [-T1n+1 - T3n+1 - 2BiTa + (1/(2F0)+2+2Bi)T0n+1 ] 设在x=0处为给定热流q的边界条件，且保持不变，则边界条件可写成 用中心差商代替微商（方法下同） 代入内节点显式差分格式 （3）给定热流边界 得 热流边界 在边界外设立虚节点，使边界节点变换为内节点 隐式格式 代入下式 得 显式格式 隐式格式 （4）绝热边界 3. 求解的精确性和稳定性 （1）误差 有限差分方程的近似解和偏微分方程精确解之间的差值。 很少或根本不影响 即舍入误差。 计算中对有效数字的限制引起的 数值误差 影响显著 用有限差分代替导数引起。 取决于初始给定的温度分布、边界条件、差分格式和傅立叶数Fo 截断误差 对精度的影响 说 明 误差类型 指计算误差随步数的增加是否会积累到超出所允许的范围；或者说，最后计算结果对初始条件和边界条件的数据误差及计算中的舍入误差是否敏感的问题。 （2）差分格式的稳定性 保证差分格式的稳定性很重要。这是因为初始条件和边界条件不可避免地包含着误差，在数值计算中也有舍入误差。如果这些误差在计算过程中不断被放大，导致求解不稳定，那么计算结果就失去了意义。 1/2≤θ≤1时，无条件稳定 加权格式 F0较大或边界换热较剧烈的场合 无条件稳定。初始精度比C-N好 加辽金格式 F0较小或边界换热较缓慢的场合 无条件稳定。精度比加辽金格式高，但初始精度差 C-N格式 无条件稳定。精度较低，但其稳定性最好 完全隐式格式 有条件稳定。Δt≤Δ2/(kα)（k=2,4,6; 1D,2D,