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第三部分 代数结构 第九章　代数系统 9.1 二元运算及其性质 一、运算 　　　从小学到现在我们学习了许多运算，这些运算的共同规律是什么？ 运算对象 – 集合中的元素 运算符 运算结果-集合中的元素 为了研究一般运算的性质下面将运算抽象为是一种特殊的函数，从函数的观点来研究一般运算的性质是具有普遍的意义。 １、定义 设S为集合，函数f：S Ⅹ S → S称为S上的二元运算，简称为二元运算· 注：定义中要求：集合S上的二元运算是笛卡尔积到集合S的函数，从函数的要求来看验证一个运算是否为集合S上的二元运算关键考虑两点： 1）S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一 函数对应的体现 x,y → 运算结果 z=x*y x,y,z∈ S 2）S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的． 二元运算的实例： 2、二元运算的表示 通常用 ＊ 、 ? 、* 、△、★ …等抽象符号表示二元运算，称为算符． 设f：S × S → S 是S上的二元运算，对任意的x，y∈S， 如果x与y的运算结果是z，即 f(x，y) = z 可利用算符＊ 简记为 x ＊ y = z 3、一元运算 定义9．2 设S为集合 函数f：S → S称为S上的一个一元运算，简称为一元运算． 一元运算实例 4、用算符来表示一元运算．若f：S → S为S上的一元运算， 则f(x)＝y可以用算符 ＊ 记为 ＊(x) ＝y 或 ＊x ＝ y 其中x是参加运算的元素，y为运算的结果． 例如上面的相反数 -x 、集合A的绝对补集～A ，? p 都是上述表示形式， 其中的 - 、～ 、 ? 都是算符． 5、有限集合上的运算 （可用一个表格来表示运算的过程和结果） 设 S={a1,a2,a3.a4,a5} , *为其上的二元运算 则该运算可用表来表示：中间是运算结果，运算次序为行标为先列标后 　　 ＊　a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 运算可以推广为n元运算（操作） 二、二元运算的一般性质（运算律） １、交换律 　　定义9．3 设＊为S上的二元运算． 　　如果对于任意的x，y∈S都有 x＊y = y＊x 　则称运算＊在S上是可交换的，或者说运算＊在S上适合交换律。 2、结合律 定义9．4 设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S都有: (x＊y) ＊z = x＊(y ＊z) 则称运算 ＊在S上是可结合的，或者说运算 ＊在S上适合结合律． 3、等幂律 定义9．5 设 ＊为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有 x＊x＝x 则称该运算 ＊适合幂等律． 　　如果S中的某些x满足x＊x=x，则称x为运算＊的幂等元． 　　如果S上的二元运算＊适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元． 4、分配律 定义9．6 设 ＊和 o 是S上的两个二元运算， 如果对任意的x，y，z∈S有 x＊(y o z)＝(x＊y) o(x＊z) (左分配律) (y o z) ＊ x = (y＊x) o(z＊x) (右分配律) 则称运算＊对 o 是可分配的，也称＊对 o 适合分配律． 5、吸收律 定义9．7 设 o 和＊是S上两个可交换的二元运算， 　　如果对于任意的x，y∈S都有 x＊(x o y)＝x x o(x＊y)= x 则称o和＊满足吸收律． 实例： 命题的析取和合取运算（集合的交、并运算） 三、二元运算中的特殊元素 1、单位元（幺元） 1）左、右单位元和幺元定义 定义9．8 设＊为S上的二元运算，如果存在el(或er)∈S使得 　　　对任何x∈S都有: el＊ x = x (或x＊ er = x) 　　　则称el(或er)是S中关于＊运算的一个左单位元(或右单位元)． 　　 若e∈S关于运算＊既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于＊运算的单位元． 单位元也可以叫做幺元． 　 幺元的实例：实数加法中的0，实数乘法中的