3-1、3-2数学期望.ppt

第三章 随机变量的数字特征（约8学时） 　　练习: 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用x,h表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两射手的技术. 解 Ex=1?0.4+2?0.1+3?0.5=2.1 Eh=1?0.1+2?0.6+3?0.3=2.2 例(补) 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱, x1,x2代表头两个信箱里的信数目, 求在第2个邮箱里有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数(条件期望). 解 由已知可计算出 §3.2 随机变量函数的数学期望 小结 基本要求： 1 理解数学期望、方差的定义 2 会求随机变量及函数的数学期望方差 3 掌握某些常用分布的数学期望与方差 4 理解原点矩与中心矩的概念 5 会求协方差与相关系数 6 理解切比雪夫不等式 通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数. 一袋中有5张卡片，其中有3张标有1元，2张标有4元，现从中随机抽取2张，金额这和即为参与者所得，但参与一次需要支付4.5元，你愿意参与这个赌博吗？为什么？ 你愿意参与这项赌博吗？ 100×5％+50 ×15％+(－20)×80％＝－3.5元 有一项赌博，你有5％的机会赢得100元，15％的机会赢50元，而有80％的可能输掉20元。 你会参加这项赌博吗？ 例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只, 测得使用寿命(单位：小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000; 试比较这两批灯泡质量的好坏. 观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量较好. 计算得: 平均寿命分别为: A:1200, B:1200, 数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(mean or everage value) 它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格意义下的平均值. §3.1 数学期望 1、一维离散随机变量的数学期望 定义：离散随机变量X的一切可能值xi与对应的概率P（X=xi）的乘积的和叫做随机变量X的数学期望，记作E（X）. 如果随机变量X只能取得有限个值x1,x2……,xn,而取得这些值的概率分别是P(x1),p(x2),……,p(xn) 则X的数学期望 E(X)=x1p(x1)+x2p(x2)+… +xnp(xn) 注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均. 例1 设随机变量X服从“0-1”分布求数学期望E(x). 例2 求§2.2例中取球次数的数学期望. X的数学期望 E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2 (2) Y的概率分布 Y的数学期望 … 0.4×0.6m-1 … 0.4×0.6 0.4 P（yi） … m … 2 1 Y 解: (1) 取球次数X的概率分布为 2 0.1 0.2 0.3 0.4 P（xi） 4 3 1 X 解: E(x)=0×q+1×p=p 利用已知的幂级数展开式 0.5 0.1 0.4 P 3 2 1 x 0.3 0.6 0.1 P 3 2 1 h 这表明, 如果进行多次射击, 他们得分的平均值分别是2.1和2.2, 故乙射手较甲射手的技术好. 一种很迷惑游客的赌博游戏 在一个游客很多的旅游胜地，发现这样一类赌博游戏：赌主拿着一个装有20个大小同样的玻璃球小袋，玻璃球共有红、黄、蓝、白、黑5种颜色。每种颜色均为4个球，让游客从袋中任意摸出10个球，如摸到红球4个黄球4个白球2个，则数字排列为442（按从大到小的顺序排列），以摸到各种球组成的数字定输赢。规定如下表(其中“+”号表示赢，“-”号表示输)： －2.5 － 2 ＋0.5 ＋0.5 ＋ 1 ＋ 1 ＋2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 5 ＋ 5 ＋10 输赢金额 (元) 3 2 2 2 1 3 3 2 1 1 3 3 2 2 4 2 2 1 1 4 3 2 1 2 2 2 2 2 3 3