3-5 曲线的凸凹性与拐点.ppt

曲线的凸凹性 与拐点 第五节 第三章 一、曲线凸凹性的概念 二 、曲线凸凹性的判定 三、拐点的判定 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 . 一、曲线凸凹性的概念 定义3.2 曲线的凸凹性 则称 曲线弯曲的方向不同 二 、曲线凸凹性的判定 函数的凹凸性与 f ?(x) 的符号有关 设函数 定理3.12(凹凸判定法) 证 x O x1 x2 x0 由拉氏中值定理可得 两式相减，可得 x O x1 x2 x0 例1 判断曲线 的凹凸性. 解 故曲线 在 上是凹的. 例2 判断曲线 的凹凸性. 解 故曲线 在 上是凹的, 在 上是凸的. 点(0, 0) 是凸弧与凹弧的分界点. 凹弧的分界点称为拐点 . 定义3.3 连续曲线弧上凸弧与 三、拐点的判定 定理3.13 (拐点判定法) 或不存在, (1) 若 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. (2) 若 在 两侧同号, 的拐点. 若曲线 则点 不是曲 的拐点. 解 不存在 因此点 ( 2 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凸 凹 例3 求曲线 的拐点. 解 例4 求曲线 不存在 凸 凹 凹 (拐点) 因此 的拐点 . 例5 证 内容小结 曲线凹凸与拐点的判别 拐点 —— 连续曲线上有切线的凹凸分界点 在 I 上是凹的 在 I 上是凸的 思考题 解 备用题例1-1 解 令 得 对应 0 凸 凹 凸 拐点 拐点 例3-1 求曲线 的拐点. 解 因此点 (0, 0) 为曲线 的拐点. 不存在 凹 凸 的凹凸区间及拐点. 解 (1) 求 (2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 (3) 列表判别 例4-1 求曲线 故该曲线在 及 上是凹的, 是凸的, 点 (0, 1) 及 均为拐点. 0 凹 凸 凹 (拐点) (拐点) 有位于一直线的三个拐点. 求证曲线 证 例4-2 令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线. 解 例4-3 在拐点处的法线通过原点. 又法线经过原点， 又法线经过原点， 原点.