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SAT问题 内容 什么是SAT问题 SAT问题的重要性 DPLL算法 SAT问题 布尔变量是值域只有两个元素0和1的变量 一个只由布尔变量形成的CSP问题又称为SAT问题 可以将SAT问题看做是一类特殊的CSP问题，不过因为SAT是一类重要的问题，在现实中和理论上有着重要的意义，因此我们将重新给出SAT问题的定义 SAT问题的相关定义 一般来说，SAT问题是判定一个命题公式是否可满足的问题，通常这个命题公式是CNF公式。相关定义如下： 文字：布尔变量x和布尔变量的非﹁x称为文字，前者为正文字，后者为负文字 子句：l1∨… ∨ lk形式的式子称为子句，其中∨是逻辑上的析取连接词， li是文字；子句也常被表示为文字的集合 CNF公式：C1 ∧… ∧ Cm为CNF公式，其中∧是逻辑上的合取连接词，Ci是子句； CNF公式也常被表示为子句的集合 SAT问题的相关定义 赋值t：变量到{0,1}的映射 对于文字l： t(l) = 1当且仅当： l为正文字x且t(x) = 1 l为负文字x且t(x) = 0 对于子句C=l1∨… ∨ lk： t(C)=1当且仅当 对于某个li有t(li) = 1 对于公式F= C1 ∧… ∧ Cm：t(F)=1当且仅当 对于所有的Ci有t(Ci) = 1 SAT问题的相关定义 这样一个SAT问题就是： 给定一个CNF公式F，判定它是否存在一个赋值t，使得t(F)=1 SAT问题的重要性 SAT问题是一个重要的问题，它是最早被证明为NP完全的问题之一；目前SAT问题还被用于编码一些实际应用问题，比如人工智能问题，形式验证问题等 现在的SAT求解器能求解的问题的规模：百万个变量，千万个子句 SAT的理论意义 [Cook 70] 中指出SAT 是NPC的 如果能有效的求解SAT问题（不必要是多项式时间的），那么其他的NPC问题也能有效的求解。 图染色问题 每个节点染且仅染一种颜色，相邻的节点颜色不同 图是否能2染色? Decidable in P. 图是否能3染色? NP-complete. 图是否能K（k3）染色? NP-complete. SAT问题的实践意义 SAT 问题在实践中主要应用于: 验证和测试电路图案 两个电路的等价性检测 软件的可达性分析 程序的形式验证 …… 求解SAT 尝试所有的赋值可能 当有 n 个变量时，需要尝试 2n 个可能的组合 指数爆炸 应用一些启发式策略来生成比较可能满足布尔公式的赋值 SAT求解器 SAT求解器是求解SAT问题的算法，它以一个CNF公式作为输入，以0,1作为输出，表示该公式是否可满足。有的求解器还可以给出满足的解，或者不满足的原因 SAT求解器分为完全求解器和不完全求解器两种 完全求解器 穷尽有哪些信誉好的足球投注网站空间 只要有足够的时间，一定能够给出答案 适用于实际应用中的问题 不完全求解器 大多采用局部有哪些信誉好的足球投注网站方法 当问题可满足的时候，有可能给出答案，也有可能给不出答案 当问题不可满足的时候，无法给出答案 适用于随机产生的CNF公式 DPLL SAT 求解器 Davis-Putnam-Logemann-Loveland 算法(1960,1962). 大部分的现有确定性求解器都是基于 DPLL 算法 它提供了一个结构化的方法来枚举可能的赋值。 Chronological backtracking 最近的一些途径 Conflict analysis learning Non-chronological backtracking Search space pruning DPLL算法简述 它是一个回溯有哪些信誉好的足球投注网站算法 它的基本思想是每次选中一个未被赋值的变量进行赋值，然后判断该赋值是否满足整个公式： 满足：结束有哪些信誉好的足球投注网站； 导致冲突（某个子句为0）：回溯； 否则：对下一个变量进行赋值 DPLL算法的例子 DPLL算法的例子 上图是一个典型的DPLL算法过程，是一个树状结构 分别给变量a,b,c赋值，给变量赋值为1用变量本身表示，赋值为0用变量的非表示 当给变量a,b,c分别赋值为1,1,0的时候，遇到了冲突，这时需要回溯到b，重新给b赋值 DPLL 算法 decide-next-branch() 选择一个没有被赋值的变量，并给定一个赋值 deduce() – 单元值传播（unit propagation）: 如果有一个没有赋值的变量，给它一个赋值，从这个赋值出发做BCP (Boolean Constrain