一阶微分方程.ppt

代入原方程, 积分, 得 得 得 所以所求产值函数为 于是方程 的通解为 例. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可变形为 所求通解为 这是以 为因变量 y 为自变量的一阶 线性方程 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 伯努利方程解法:经过变量代换化为线性微分方程. 3. 伯努利方程 代入上式 例12 解 得 则方程化为 其通解为 所求方程的通解为 思考与练习 1、判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 2. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 线性方程 利用公式可求出 一、可分离变量方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 一阶微分方程的形式可表为 一、可分离变量方程 形如 的一阶微分方程, 称为可分离变量方程. 对（9-10）两边积分, 得通解 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法， 称为分离变量法. 均为可分离变量方程. 例1 解 分离变量, 得 两边积分, 得 即得通解 例2 解 合并同类项, 得 分离变量, 得 两边积分, 得 即有通解 例3 解 分离变量, 即有 两边积分, 得 整理得通解 于是所求特解为 例4 并且 同时该公司每 年要以30百万元的数额连续支付职工工资. 解 (1) 利用平衡法, 即由 净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度 得到方程 (2) 分离变量, 得 积分, 得 于是 或 所以方程通解: 通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中. (3) 由通解表达式可知, 净资产额单调递减, 公司将在第36年破产; 公司将收支平衡, 净资产保持 在600百万元不变; 将按指数不断增长. 1. 齐次微分方程 形如 的一阶微分方程, 称为齐次微分方程, 简称齐次方程. 二、齐次微分方程 例如, 所以该方程是齐次方程. 分离变量再积分，得 代入方程 ，得 注意 例5 解 所给方程为齐次方程, 代入原方程, 得 即 分离变量, 得 积分, 得 即 即得方程通解 例6 解 将方程改写为齐次方程 则有 即 分离变量, 得 积分, 得 即 得方程通解 例7 解 所给方程为齐次方程, 整理得 则有 分离变量, 得 积分, 得 于是有通解 形如 的一阶微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中, 则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程, 三、一阶线性微分方程 则称方程 为一阶非齐次线性方程. 对应的齐次线性方程的通解为 1. 一阶齐次线性方程的解法 可分离变量的方程 2. 一阶非齐次线性方程的解法 两边求导，得 两边积分，得 这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的方法称为常数变易法. 例9 解 方法一、由方程对应的齐次方程 分离变量, 得 积分, 得 代入原方程, 得 即有 积分, 得 于是原方程的通解为 方法二、先将方程标准化 例10 解 方程变为 不是一阶线性微分方程, 不便求解. 方程改写为 则为一阶线性微分方程, 于是对应齐次方程为 分离变量, 积分, 得 即令 为原方程的解, 代入原方程, 有 积分, 得 于是原方程的通解为 例11 解 分离变量, 积分, 得 方程 对应的齐次方程为 变易常数, 令 的通解为