3_二重积分的计算(极坐标).ppt

第二节 引例. 例2续 例8.计算 注: 例9. 求球体 三*、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例21. 计算 例22. 计算由 例23. 试计算椭球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用D到D’的转换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标下的二次积分注释 作业 P138-139 2 ; 3; 4 (2), (4); 5 (2), (4); 6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 定积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 (2) 一般换元公式 且 则 在变换 下 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *三、二重积分的换元法 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算 二 极坐标下二重积分的计算 (一)极坐标知识回顾 1定义: 在平面取一点O称为原点, 称为极轴. O 平面上任意点P 向量O P与极轴为夹角为 则点P由数组 唯一确定, 称数组 是点P的极坐标. P 从原点出发作一条射线 与原点距离为 曲线上点的极坐标满足的方程称为曲线的极坐标方程. O 例: 如图半径为 与极轴相切,且圆心与原点连线垂直于极轴, 求圆的极坐标方程. P 对圆上任意一点 设其极坐标为 则三角形 是直角三角形,且 故 故圆的极坐标方程为 O P 若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 和 则它们有关系 以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上 2 极坐标与直角坐标的关系 法一:根据曲线的几何特征及 与 几何含义建立方程 O P 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立 圆的直角坐标方程为 圆的极坐标方程为 如图 圆的极坐标方程为 3 曲线的极坐标方程的求法 例 如图 P 法一 法二: 圆的直角坐标方程为 故 即 故圆的极坐标方程为 例 如图 P 法一 法二: 圆的直角坐标方程为 故圆的极坐标方程为 例 如图 直线 P 法一 法二: 由直线直角坐标方程为 得 故直线极坐标方程为 记为 (二)极坐标下的 型简单区域 定义: 若区域D在极坐标下是由 及 其中 围成. 则称D为极坐标下的 型简单区域 特征 若区域D的 的取值为 对 从原点出发以 为角做射线与区域边界交点至多两个: 为什么引用极坐标计算二重积分 2 1 D 0 y x D1 D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿! 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 为 解: 将 转化为二次积分, D 0 y x