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格奥尔格·康托尔 格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家（波罗的海德国人）。创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。他还提出了集合的势和序的概念。由于研究成果得不到认可，并受到以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家的长期攻击，患抑郁症，最后精神失常。自1869年任职于哈勒大学，直到1918年，在德国哈勒大学附属精神病院去世。 当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。” 康托尔出生于俄国圣彼得堡，他的父亲是丹麦商人，母亲是俄国音乐家。1856年他们全家搬到德国，康托尔在德语学校继续学业，1867年他于柏林大学获得博士学位。 康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。原始证明发表于1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及n维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上，康托尔又系统地研究了序数理论，提出了良序原理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。 康托尔的后半生受到抑郁症的困扰，这严重影响他的工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文推测，他患的可能是躁郁症。他曾写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明弗兰西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无穷的概念即是上帝。第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大学的精神病院。 康托尔集 在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入[1][2]（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现[3][4][5][6]），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 康托尔集的构造 康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。首先从区间[0, 1]中去掉中间的三分之一(1/3, 2/3)，留下两条线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。把这个过程一直进行下去，其中第n个集合为： 康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0, 1]中的点组成。 下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。 有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。[7][8] 康托尔悖论 在数学中，康托尔悖论是集合论的一个定理，即没有最大的基数，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类；在 von Neumann-Bernays-G?del 集合论中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类必定双射于所有集合的集合。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。 这个悖论命名以康托尔，他在1899年(或在1895年到1897年之间)首先提出了它。象多数数学悖论一样它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在朴素集合论中的确是悖论并证实了这个理论对数学需要是不充足的。NBG 集合论解决了这个悖论使它适合作为替代者。 陈述和证明 为了陈述这个悖论必须理解容许排序的基数，因此你可以谈论一个事物大于或小于另一个。则康托尔悖论是: 定理:没有最大的基数。 这个事实上是关于一个集合的幂集的势的康托尔定理的直接结论。 证明:假定相反情况，并设 C 为最大基数。则(在冯·诺伊曼基数公式化中) C 是一个集合因此有幂集 2C通过康托尔定理，它有严格的大于