系统辨识_Lec6.ppt

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系统辨识_Lec6剖析

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法 Proposed by German mathematicians C. Runge,W. Kutta others (E. Fehlberg) around 1900 —— 常微分方程及方程组的数值解 基本概念 ? 只有一个自变量的微分方程为常微分方程 ODE, 否则称为偏微分方程 PDE ? 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶 [1] ?C. Runge,? ?Ueber die numerische Aufl?sung von Differentialgleichungen ?Math. Ann. , 46 ?(1895) , 167–178 [2] ?W. Kutta,? ?Beitrag zur naherungsweisen Integration von Differentialgleichungen ?Z. Math. und Phys. , 46 ?(1901), 435–453 微分方程数值解的重要性 ODE数值解的基本思想和方法特点 1. 离散化 用Taylor级数、数值积分和差商逼近导数,将 ODE 转化为离散的代数方程(称差分方程) 2. 递推化 在具有唯一解的条件下,通过步进法逐步计算出解 在一系列离散点上的值, 从而得到原ODE的数值近似解 初值问题解法 讨论一阶ODE(高阶可化为一阶ODEs) 的初值问题。初值问题可以一般地写成: 欧拉(Euler)方法 Euler方法是求解初值问题的最简单方法,精度差。然而对理论分析很有用。Runge-Kutta法是对Euler法的改进 h h (xm, ym) 偏大 偏小 后退Euler Euler 预估-校正 Euler预估-校正法较Euler法精度高一阶(证明见3阶R-K)。为了构造更高精度的估计方法,考虑: ym+1=ym+ h?(xm, ym, h) 其中? (xm, ym, h)是 f(x, y) 在[xm, xm+1]中某些点上的线性组合(它意味着求出一个更合理的斜率): 其中? Ci=1 其中 , 它意味着,后一个 离散点上的斜率由前几段斜率的线性组合构成。且bil的总和相当于 ai,即相当于构成ai的分量 (xm, ym) xm+h ha2 ha3 ha4 tg?=K1 tg?=K2 tg?=K3 Ci, ai和bil通过比对R-K及原函数的泰勒展开确定 当N=2时,C1=C2=1/2, a2=b21=1, 得Euler预估-校正结果;当N=3时,有: b21 b31 作业3: 证明上式 提示:根据以下二阶Taylor展开式进行合并化简,这两个展开式的误差均为O(h3),这样,二阶Taylor展开后,C1K1+C2K2+C3K3的误差亦为O(h3)。合并化简时,所有与 h? 3相关的项都并入O(h3)而无需写出其准确表达式。 上式中的 f 和偏导值均指在(xm , ym)处的值 证明: 至此,比对3阶R-K展开式?(用的是K2、K3的二阶Taylor展开)和原函数的三阶Taylor展开式? hi的系数: ? ? 可以得到: C1+ C2+ C3=1; C2a2+ C3 a3 =1/2; C2 a2 2 + C3 a3 2 =1/3; C3 a2 b32 =1/6; 在四个关系式 C1+C2+C3=1; C2 a2 +C3 a3 =1/2; C2 a2 2 +C3 a32 =1/3; C3 a2 b32 =1/6; 中有6个未知数,自由度为2。故指定C1=C3=1/6, 可得:C2 =4/6, a2 =1/2, a3 =1, b32 =2。最后R-K(3)为: 4阶R-K: 对以下方程采用不同的数字求解方式求解: Xm Euler Improved Euler R-K(4) 精确

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