数学分析下册考试复习整理.doc

作业题参考答案 微分学部分： 多元函数极限、连续性、可导性、可微性概念及其判定和计算； 多元连续函数的性质、中值定理和Taylor公式； 多元函数极值问题、最值问题及其求解方法。 积分学部分： 可积性、积分的性质； 重积分的计算、曲线曲面积分的计算； Green公式、Stokes公式、Guass公式 连续性： 设函数在平面上连续，为任一实数，定义， 。证明：(1) 为开集；(2) 为闭集。 证明：(1) 任取，则。由函数在连续和连续函数的局部保号性知，存在，有，。即， 其中。即，即为的内点，因此，由开集的定义知，为开集。 设为集合的一个聚点，即存在点列满足。 由知，。由函数在连续和连续函数的局部保不等式性知，有 ，即。因此，由闭集的定义知，为闭集。 研究函数在点处连续性、可导性和可微性。 解：与有关，因此，函数在点处重极限不存在，因此，函数在点处不连续。 ，由偏导数定义知，。同理可得。 因此，函数在点处可导。 由函数在一点可微必连续知，函数在点处不可微。 设，求方向导数，其中方向余弦为。 解：。 由方向导数的定义知，=。 导数计算： 求在点关于的偏导数。 因此，；。 求下列偏导数 (1) ; (2) . 解：(1) ; . (2) , ; ; . 设，求和。 解：当时， 当时， 。 。 求高阶导数: (1) ，求，，; (2) , 求，。 解：(1) ; . ； ； 。 偏微分方程： 验证满足热传导方程。 证明：， 。 因此，成立。得证。 验证满足拉普拉斯方程。 证明：； ； 。 因此，成立。得证。 极值问题与最值问题： 考察的极值点和极值，其中为常数。 解：，解得和，记。 由，，得到， 。 于是，由知，不是函数的极值点。 由和知，不是函数的极大值点，极大值为。 求函数的极值点，其中为常数。 解：令，记，于是在上极值点与函数在第一象限内的极值点一一对应。令，解得函数四个稳定点，，和。由，，可得 ，； ， 。 由 知，稳定点都是不是函数的极值点。 由和知，为函数的极大值点。 相应地，点为函数在上的极大值点。 某种机器零件的加工需要经两道工序，表示零件在第一道工序中出现的暇点数，表示在第二道工序中出现的暇点数，某日观测得到个零件的如下表，画出散点图，找出它们的经验公式，并画出拟合曲线。 x 0 1 3 6 8 5 4 2 y 1 2 2 4 4 3 3 2 解：记，令，解得，故拟合曲线为。 在以为顶点的三角形闭区域内找点使得它到三个顶点距离平方和最大或最小，并求上述相应的最值。 解：设所求点为， 记， 令，解得，且。 注意到函数在有界闭域上连续，因此，函数在上存在最小值和最大值。 (1) ，于是，。 经计算。 (2) ，于是，。 经计算。 (3) ，于是，。 经计算。 综上得到，到三角形三顶点的距离平方和最小，最小值为； 点到三角形三顶点距离平方和最大，最大值为。 求函数在上最大值和最小值。 解：令，解得， . . . 综上知，最大值为；最小值为。 应用拉格朗日乘数方法求函数在条件下的极值。 解：记。 令，解得。 由该问题的几何背景知，在直线上存在条件极值点，即为唯一的稳定点 因此，极小值为。 应用拉格朗日乘数方法求函数在条件和下的极值。 解：记。 令，解得和 。 因此，极小值点为，极小值为； 极大值点为，极大值为。 有一个下部为圆柱形，上部为圆锥形的帐篷，它的容积为常数。今要使所用的布最少，试证明帐篷尺寸间应有关系式：，其中分别为圆柱形的底半径和高，为圆锥形的高。 证明：设表示所用布料的面积，则， 且满足的限制条件为。 令Lagrange函数为。 于是由 求解得。 由Lagrange函数的稳定点唯一，又实际问题有解，所以问题的解在稳定点处取得。 故帐篷所用布料最少，帐篷的尺寸间有如下的关系式：。 得证。 Taylor公式： 求泰勒公式(1) 函数在点处展到三阶为止； (2) 函数在点处展到二阶为止。 解：(1) , ; . 于是， (2) 。 因此，。