概率论与数理统计复习要点.doc

第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 ①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示； ②样本空间：样本点的全集，用表示； 注：样本空间不唯一. ③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系 ①包含关系：，事件A发生必有事件B发生； ②等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生； ③互不相容（互斥）： ，事件A与事件B一定不会同时发生。 ④互逆关系（对立）：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立； 互逆满足 注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。） 3. 事件的三大运算 ①事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则； ②事件的交：，事件A与事件B都发生； ③事件的差：，事件A发生且事件B不发生。 4. 事件的运算规律 ①交换律： ②结合律： ③分配律： ④德摩根（De Morgan）定律： 对于n个事件，有 二、随机事件的概率定义和性质 1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件 都有确定的实值P(A)，满足下列性质： (1) 非负性： (2) 规范性： (3)有限可加性(概率加法公式)： 对于k个互不相容事件，有. 则称P(A)为随机事件A的概率. ② ③若，则 ④ 注：性质的逆命题不一定成立的. 如 若则。（×） 若，则。（×） 三、古典概型的概率计算 古典概型：若随机试验满足两个条件： 只有有限个样本点, ② 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。 典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则 (1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为 (2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为 四、条件概率及其三大公式 1.条件概率： 2.乘法公式： 4.全概率公式： 若，则。 5.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且 . 五、事件的独立 1. 定义：. 推广：若相互独立， 2. 在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。 3. 三个事件A, B, C两两独立： 注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。） 4.伯努利概型： 练习： 判断正误 1.事件的对立与互不相容是等价的。（X） 2.若 则。（X） 3.。 (X) 4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨) 5. n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X) 6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨） 二、选择题 1．设A, B为两事件，则P(A-B)等于 ( C ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB) 2． 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 ( D ) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3．若A, B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 ( A ) A. P(A∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) 4．设，则等于 ( B ) A. B. C. D. 三、解答题 1. 解：(1) 因为A，B不相容，有 所以 (2) 因为A，B独立，所以 , 2.已知且求的值. 解：由概率乘法公式得 3. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. 求先抽到的一份是女生表的概率p。 解: 设表示“第i次取出的报名表是女生表”, i=1,2 表示“报名表是取自第j区的考生”, j=1,2,3. 根据题意得 第二章 随机变量及其分布 一、随机变量的定义 设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。 二、分布函数及其性质 1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数