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导数运算与求导法则 一 基本初等函数的求导公式： ，，，， ，，， ，，， ，， ，， ，。 二 函数的和、差、积、商的求导法则： 设，都可导，则 ；（是常数）， 三 复合函数的求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 注意：符号与的区别， 例：已知，求 解：，所以， 四 反函数的导数 若单调函数在点可导，且，则的反函数在对应点处可导，且. 例：设为直接函数，则是它的反函数。函数在开区间内单调、可导，且。 因此，在对应区间内有，。 又（因为当时，，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式： 五 高阶导数 莱布尼茨（Leibniz）公式： 例 ，求。 解：设，，则， ，，，代入莱布尼茨公式，得 。 六 函数求导、参数方程求导 求由方程确定的隐函数的导数，通常采用方程两端同时对求导，遇到含的表达式，将其视为的函数，用复合函数求导法则进行求导。 例 求由方程所确定的隐函数的导数及。 解：我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数。方程左边对求导得 ， 从而 . 用取对数的方法将一些麻烦的显函数求导问题转化为隐函数的求导问题，达到化简的目的 例1 求的导数. 解：可以先在两边取对数，得； 上式两边对求导，注意到是的函数，得， 于是 。 例2 求的导数。 解：先在两边取对数（假定），得 ， 上式两边对求导，注意到是的函数，得 ， 于是 . 当时，；当时，. 用同样方法可得与上面相同的结果. 注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。 七 由参数方程确定的函数的求导 若由参数方程确定了函数，假定函数、都可导，而且，则， 对由确定的函数再求导，就得到： ， 计算导数 1.，求. 2. 求。 3.，求和 4. 5.已知具有任意阶导数,且,则当大于2的正整数时, 求. 6. 函数由确定,求 7. 函数由确定,求 8.函数由确定,求 9.具有二阶导数,且一阶导数不为1,求 10.求 11.,求 12.,则使存在的最高阶数是多少? 13. ,可导, ,求 14. ,求在的值. 15. 函数由确定,求 导数的几何意义的应用 1.求的图形在点处切线与轴交点的坐标 2.求曲线上对应处的法线方程 3.曲线与在点处相切,为常数),求 4.已知曲线与轴相切,则的关系如何? 5. 曲线由所确定,求曲线在点处的切线方程. 3