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第四章 方差分析 有重复的双因素方差分析是用来分析影响某一特定结果的两个不同的特征值之间关系的一种方法，它与无重复的双因素方差分析具有以下几点区别： 通常调查者对两个因素都感兴趣。 每个因素的每组值都不止一个观察值。 除了每个因素的影响外，分析者也应注意到因素之间的相互作用，这些因素的不同组合可能带来不同的影响。 有重复的双因素方差分析问题 例 某企业准备上市一种新型香水，需要进行市场调研。 除香水气味外，经验表明香水包装与广告策略对销售量的增长也有很大影响。 现用三个不同的广告策略和三种不同的包装对这种香水进行测试，每种组合采用两个不同的市场调查。 调查结束后，不同的包装形式和广告策略的数据见下表。 有重复的双因素方差分析问题 各种促销手段下的销售量增长速度 根据这些数据，是否可以说明不同的总体均值意味着不同的广告策略、不同的包装设计具有不同的影响？包装设计的广告策略中是否有相互作用? Excel分析工具中的方差分析 可以得出结论：广告策略是影响销售量的主要因素，其与包装设计的组合也对销售量有明显影响，但单就包装设计本身而言，其影响效果较小。 有重复双因素分析统计分析 因素A有a个水平A1 , A2, ... , Aa , 因素B有b个水平B1 , B2, ... , Bb , 为研究交互作用的影响，在每一个组 合水平 (Ai, Bj)下,进行n(n?2) 次试验, 试验指标的观察值记为xijk i=1,2, ... ,a j=1,2, ... ,b k=1,2, ... ,n 1）数据表 2）统计模型 设xijk~N(?ij, ?2)， i=1,2, ... ,a, j=1,2, ... ,b, k=1,2, ... ,n ?ij = ?+?i + ?j + ?ij , ?为总平均值， ?i为因素A的Ai水平效应, ?j为因素B的Bj水平效应, ?ij为水平Ai和水平Bj的交互效应 2）统计模型 线性统计模型为 2）统计模型 检验的假设为： 3）总变差的分解 3）总变差的分解 4）统计分析 ST的自由度为abn-1, SA的自由度为a-1, SB的自由度为b-1, SA?B的自由度为 (a-1)(b-1), SE的自由度为 (abn-1)-(a-1)-(b-1) -(a-1)(b-1) = ab(n-1) 4）统计分析 均方值 4）统计分析 均方值期望 4）统计分析 在HA0：?i=0 ，HB0：?i=0， HAB0：?ij=0 成立的条件下： 可证 4）统计分析 统计量 4）统计分析 对于给定的?， 查出F?(a-1, ab(n-1))，F?(b-1, ab(n-1))， F?((a-1)(b-1), ab(n-1)) 由样本值计算出SA , SB , SA?B , SE ，从而算出F1 , F2 , F3值。 若F1 F?(a-1, ab(n-1))，则拒绝HA0， 若F2 F?(b-1, ab(n-1))，则拒绝HB0， 若F3 F?(a-1)(b-1), ab(n-1)),则拒绝HB0 。 5）有重复双因素方差分析表 简化计算 简便计算公式 简化计算 6）有重复双因素方差分析举例 使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做2次试验得火箭射程(单位：海里)列于表，试分析燃料(A)，推进器(B)和它们的交互作用(A?B)对火箭射程有无显著影响？（?=0.05）  解 这是双因素考虑交互作用的试验。 设火箭射程为 xij= ? + ?i + ?j + ?ij + ?ijk , i=1,2,3,4, j=1,2,3, k=1,2 原假设HA0：?1 = ?2 = ?3 = ?4 = 0 HB0： ?1 = ?2 = ?3 = 0 HAB0：?ij =0 对立假设HA1：?I ? 0 至少有一个i HB1：?j ? 0 至少有一个j HAB0：?ij ? 0至少有一对i, j 这里a=4，b=3，n=2，abn=24 火箭射程方差分析表为 对于给定的?=0.05，查表得 F0.05(3,12)=3.49, F0.05(2,12) =3.89 , F0.05(6,12) =3.0 因为F1=4.423.49, F2= 9.393.89 ， F3=14.933.00 所以拒绝原假设HA0 、 HB0 、 HAB0 , 故燃料、推进器和它们的交互作用对火箭 射程都有显著影响，