二次函数的图像和性质.ppt

二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系 一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k）。 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: 　　　　 ３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? * * 二次函数的 图象和性质 观察图象,回答问题 p (1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？ 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象． 知识回顾 ? 二次函数y=-0.5x2,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 例3 画出函数y=-0.5（x+1）2-1的图像，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）2 -1？ 思考： 二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线 y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 下平移1个单位后得到的. 二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象和抛物线y=-0.5x2,y=-0.5(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样? y=-?(x+1)2-1 y=-?x2 y=-?(x+1)2 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似. 顶点是 (-1,-1). 开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值是 -1. 在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和 y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 练习 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是 (1,2)和(1,-2). 二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的. 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2). y X=1 与y=-3x2有关哟 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=a(x-h)2+k(a0) y=a(x-h)2+k(a0) （h，k） （h，k） 直线x=h 直线x=h 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定 向上 向下 当x=h时,最小值为k. 当x=h时,最大值为k. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表： y x 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？ 点（1、3）是顶点，知道h=1，