二阶常系数线性微分方程.ppt

一、二阶常系数齐次线性方程 二、二阶常系数非齐次线性方程 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 一、二阶常系数齐次线性方程 称为二阶线性微分方程． 称为二阶齐次线性微分方程． 称为二阶非齐次线性微分方程． 例如， 定义9.4 数. 则称 定理9.1 例如, 它们是线性无关的． 故方程的通解为 是方程 的通解, 所以 特征方程的根为 特征根的三种不同情况讨论： 方程有两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 得齐次方程的通解为 通过直接验证可知， 得齐次方程的通解为 是方程的两个线性无关的特解, 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征方程的两个根 (3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解 例1 解 特征方程为 所以 所给方程的通解为 例2 解 特征方程为 所以所给方程的通解为 例3 解 方程的特征方程为 于是容易得到: 方程的通解为 方程的通解为 方程的通解为 即得 以上通解均不是周期函数, 形如 的方程, 称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 二、二阶常系数非齐次线性方程 通常称方程(9-25) 对应的齐次方程 . 定理9.2 下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 齐次方程通解 非齐次方程特解 齐次方程通解 非齐次方程特解 齐次方程通解 非齐次方程特解 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 定理9.3 是方程 的通解. 非齐次线性微分方程通解结构为 关键：如何求非齐次线性微分方程特解． 特点： 待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而求出方程 的特解. f(x)的类型 取试解函数条件 试解函数y*的形式 f(x)=Pn(x) eμx μ为常数. μ不是特征根 y*=eμxQn(x) μ是单特征根 y*=xeμxQn (x) μ是重特征根 y*=x2eμxQn (x) f(x)= (Acosωx+Bsinωx) eμx μ,ω,A,B为常数. μ±iω不是特征根 y*= (Acosωx+Bsinωx) eμx μ±iω是特征根 y*=x (Acosωx+Bsinωx) eμx 注 Pn(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an为已知n次多项式 Qn(x)=b0xn+b1xn－1+…+bn－1x+bn为待定n次多项式 例4 解 对应齐次方程的通解为 设所给方程的特解为 为待定常数, 代入所给方程, 得 比较同幂次项系数, 得 于是 方程通解为 综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时 例5 解 对应齐次方程的通解为 设所给方程的特解为 代入所给方程, 有 比较同幂次项系数, 得 于是得 方程的通解为 例6 解 对应齐次方程的通解为 设所给方程的特解为 代入所给方程, 有 于是 得 所给方程的通解是 例7 解 对应齐次方程的特征方程为 解得 于是对应齐次方程的通解为 设所给方程的特解为 于是, 得 所给方程的通解是 代入所给方程, 有