4.4 大数定律与中心极限定理.ppt

贝努里大数定理“表明事件发生的频率 依概率收敛于事件发生的概率 ” . 这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.就是说“当 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”.在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率. 定理三中要求随机变量 的方差存在.但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，我们不加证明地给出如下的辛钦定理. 定理五 （辛钦大数定理） 设随机变量 相互独立，服从同一分 布，具有数学期望 则对于任意正 数 ，有 例2 设序列 独立同分布于 ,问 时 依概率收敛于多少？ 解： 解 由条件知 独立同分布,且 显然贝努里大数定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦定理在应用中是很重要的. 从而由辛钦大数定理知. 定理六 （独立同分布的中心极限定理） 设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差 则随机变量之和 的标准化变量 的分布函数 对于任意 满足 定理六也称列维林德贝格定理. 这就是说，均值为 ，方差为 的独立同分 布的随机变量 之和 的标准化变量，当 很大时，有 在一般情况下， 很难求出 个随机变量之和 的分布函数，（4.8）式表明，当 充分大时，可以通过 给出其近似的分布.这样，就可以利用正态分布对 作理论分析或作实际计算. （近似地服从）～ （4.8） 这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式.这就是 说，均值为 ，方差为 的独立同分布的随机变量 的算术平均 ，当 分大时， 近似地服从均值为 ，方差为 的正态分布. 将（4.8）式左端改写成 这样，上述结果可写成 这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础. 当 充分大时 （近似地服从）～ （4.9） 或 （近似地服从）～ （4.10） 例3 设甲、乙两商场销售某商品竞争2000位顾客,若每位顾客完全随意的选择一个商场,且其选择相互独立,问每个商场应组织多少件货源才能保证因脱销而使顾客离去的概率小于1℅？(设每位顾客只购该商品一件). 解： 解 由于两商场情况相同,故仅考虑甲商场,设甲商场组织了 件货源,令 则 独立同分布, 再设 ,则 表示选择了甲商场的顾客总数, 即 查表得 ,于是 件,从而每个商场 应组织1052件货源,才能保证因脱销而使顾客离去的概率小于1℅. 由中心极限定理: 近似服从 由题意要求 下面介绍另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况. 定理七 （棣莫弗—拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数为 的二项分布，则对于任意 有 证明 由第四章§2 例7知可以将 分解成 个相互独立、服从同一（0-1）分布的随机变量 之和，即有 其中 的分布律为 由于 由定理五有 这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布.当 充分大时，我们可以利用（4.11）式来计算二项分布的概率.下面举几个关于中心极限定理应用的例子. 例4 某厂有400台同类型的机器,每台机器发生故 障的概率都是0.02,假设各台机器是否出故障互不 影响.试用三种不同的方法求发生故障的机器的台 数不小于2的概率. 解： 解 设出故障的机器的台数为 . 方法一:用二项分布,因为 服从二项分布 方法二:用泊松分布作近似计算. 所以 所以 方法三:用中心极限定理. ,故 近似服从 从而 此例说明当 很大， 很小时用泊松分布比用正态分布计算较为准确. 思考 1.在离散型随机变量的数学期望定义中，为何 要求 绝对收敛？ 3.有人说:“ 与 相互独立的充分必要条件是 .”请问对吗？ 2.有人说，若：“ 则 ”.请问对吗？ 4.从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同的地方，因而，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质（通常杂质是指：碳，硅，锰,砱，硫等）也不同，而冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加入相应的配料.假设每次化验均需3克充分混合的样品，且这3克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法是:随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取3克后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁的杂质百分比，但这样化验的结果