受迫振动中振幅和频率的讨论.pptVIP

两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等 得到方程组： 这就是非齐次方程的特解。 非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解。 此时即为稳态的受迫振动 我们看到，稳态受迫振动的角频率为策动力的角频率 利用辅助角公式可以求得振幅 可以看到，当Ω=ω时，振幅最大， 这样的振动现象叫做共振 ω是物体的固有频率 * 受迫振动中振幅和频率的讨论 关于受迫振动的微分方程 振子的受力情况： 回复力、阻力、策动力 回复力： 阻力： 策动力的讨论 一般情况下策动力需要周期性变化，因此，我们可以用弦类函数去表示策动力 同时策动力一般是有稳定的最大值 我们看到在受迫振动中，策动力成为振子运动的主要因素。所以策动力的方向应该与位移方向相同。 几处要点 使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使策动力能取到不同的相位。 余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使策动力的最大值在任意一个周期内都为一个定值。 在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下，策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类函数。 微分方程 这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程 为了简化运算，我们做参数替换 方程变为以下形式 对应的齐次方程为 设方程的一个解为： 代入齐次方程 这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特征方程。我们用一元二次方程的求根公式求解方程。 讨论根的情况 但是，上述两个解都不含有任意常数， 所以它们都不是方程的通解。 我们可以利用常数变易法去讨论 在上述方程的解中γ，ω，1均为常数，但是前两者由方程给定，只有“1”是我们的假设。 所以，我们可以把“1”，变为一个与自变量t有关的变常数C(t). 对方程进行整理，可以得到： γ+λ≠0时，使用积分因子法对方程进行处理 两边积分，得到： 再次积分，得到： 代入C(t),得： 可以看到： 可以看到，两者是等价的因此，解可以合并为： 同时，γ与ω的大小关系也会对方程的形式产生影响 经过整理，可得： 进行两次积分，得到： 以上为齐次方程的通解情况 接下来我们求非齐次方程的特解： 根据解的叠加原理，待求的非齐次方程的通解，为下列两个非齐次方程的通解之和。 利用待定系数法求解两个微分方程 显然我们可以看到： 同理，我们对方程： *