几种可降阶的高阶方程.ppt

几种可降阶的高阶方程 降阶法 本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高阶方程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”.  第一种可降阶的高阶方程 方程不显含未知函数 求解 设方程中出现的未知函数最低阶的导数为k阶,这时只要令 方程就化为 例1 求解方程 例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿ox 轴作直线运动,设力F 仅是时间t 的函数: 求质点的运动规律. 第二种可降阶的高阶方程 方程不显含自变量 求解 利用代换 ,使方程降低一阶. 以二阶方程 为例. 令 ,于是有 代入原方程, 就有 例3 求解方程 例4 求解简谐振动运动方程. 第三种可降阶的高阶方程 恰当导数方程 方程 的左端恰为 某一函数 对 的导数, 即方程可以化为 求解 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为 之后再设法求解这个方程. 例5 求解方程 注 遇到方程中既不显含自变量又不显含未知 函数的情形, 可以采用前两种方法进行求解, 但要必须弄清两者的相同和不同之处. 思考与练习 求解方程 设函数 二阶可导, 且 , , 过曲线上任一点 作该曲线 的切线及 轴的垂线, 上述两直线与 轴 围成的三角形面积记为 , 区间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 , 且 , 求 满足的方程. * * *