函数模型及其应用.ppt

以下数据供计算时使用： 数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数lg N 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lg N 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解 （1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口 数为y， 则y·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30， 即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg（1+x）=lg 2， 则lg（1+x）= =0.007 525， ∴1+x≈1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y≤12.48(1+1%)10， 得lg y≤lg 12.48+10×lg 1.01=1.139 2, ∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有 13.78亿. 题型四 函数的综合应用 【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体 积为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量，都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡， 且污染物质与湖水能很好的混合.用g（t）表示任一 时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其 为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源 以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数 满足关系式 (p≥0)，其中 g(0)是湖水污染的初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的 初始质量分数； （2）求证：当g(0) 时,湖泊的污染程度将越来越 严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染 停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平 下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%？ （1）水污染质量分数为常数，即g(t) 为常数函数； (2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数； (3)转化为方程即可解决. (1)解 设0≤t1t2 , ∵g(t)为常数，∴g（t1）=g(t2), 2分 4分 思维启迪 (2)证明 设0≤t1t2, ∵g(0)- 0,t1t2, ∴g(t1)-g(t2)0,∴g(t1)g(t2). 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来 越严重. 8分 (3)解 污染源停止，即p=0，此时 设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染 水平的5%. 即g(t)=5%·g(0)，即有5%·g（0）= 10分 由实际意义知g(0)≠0， 即需要 天时间. 12分 探究提高 (1)对此类问题的解决关键是认真审题， 理顺数量关系. (2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析 式. (3)用函数、方程、不等式解答. 知能迁移4 经市场调查，某城市的一种小商品在过 去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价 格近似满足 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) 的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 解 （1）y=g（t）· f（t） =（40-t）（40-|t-10|） = （2）当0≤t10时,y的取值范围是[1 200,1 225], 在t=5时，y取得最大值为1 225； 当10≤t≤20时，y的取值范围是［600，1 200］， 在t=20时，y取得最小值为600. 答 第5天，日销售额y取得最大值为1 225元； 第20天，日销售额y取得最小值为600元 . 1.求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用 题的一般程序是： (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建 立相应的数学模型； (3)求模:求解数学模型,得到数学结论； (4)还原:将用数学方法得到的