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主讲： 徐泽林 天津师范大学数学科学学院 《几何学》的主要篇幅或者说主要目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法（由线段作图画出）。笛卡儿依下列次序对这一问题进行分类解答： (1) 一、二次方程； (2) 三、四次方程； (3) 五、六次方程； …… …… 他在《几何学》第一卷中从最简单的第（1）类方程出发，这相应于只用尺规作图的所谓“普通几何”问题。讨论了三种形式的二次方程： z2 = az + b2 z2 = ?az + b2 z2 = az ? b2 并分别给出作图（解），它从本质上是利用了圆与直线的交点。以z2 = az + b为例，笛卡儿作一直角三角形NLM，使其一边LM = b，另一边LN = ，延长斜边MN至O，使NO = NL，则OM即所求线段z（如图5.10）。 a O N P L b M 2 如图5.10 * /index.htm/ zelinxu@S §5.1 中世纪的欧洲 第五章 近代数学的兴起 §5.3 解析几何的诞生 §5.2 向近代数学的过渡 在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等文明兴盛时代，欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期，大约在公元500年左右才开始出现新文化。公元5~11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。 由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。不过因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。罗马人博埃齐（A.M.S.Boethius,约480~524）根据希腊材料用拉丁文选编了《几何》、《算术》等教科书，《几何》内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯（Nicomachus）的一本浅易的著作编写的。这样简单的书籍竟一直成为欧洲教会学校的标准课本。此外，这一时期还有英国的比德（V.Bede,674~735）和后来成为教皇的法国人热尔拜尔（Gerbert,约950~1003，第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒）等人也讨论过数学，前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。 直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏开始由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激。1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界，从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里学到希腊以及东方古典学术，激发他们对这些学术著作的搜求、发掘和研究，最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨。文艺复兴前哨的意大利，由于其特殊的地理位置容易与外部文明相联系，西西里岛成为东西方文化的熔炉。古代学术传播西欧的路线如图5.1所示。 §5.1 中世纪的欧洲 数学著作的翻译主要有英国的阿德拉特(Adelard,约1120)翻译的《几何原本》和花拉字米的天文表；意大利人普拉托（Plato,12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作。12世纪最伟大的翻译家格拉多（Gherardo,1114~1187）将90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒玫的《大汇编》、《几何原本》、花拉子米的《代数学》。因此可以说12世纪是欧洲数学的翻译时代。 欧洲黑暗时代以后，第一位有影响的数学家是斐波那契(Fibonacci, 1170~1250)，他早年就随其父亲在北非从师阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利写成《算盘书》(Abaci, 1202)，这部著名的著作主要是古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度-阿拉伯数码，分数算法，开方法，二次和三次方程，不定方程，以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的“孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）。特别是，书中系统介绍了印度数码，影响了欧洲数学面貌。《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。 欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒玫的一些学术奉为绝对正确的教条，妄图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想