线性代数方程组.ppt

第三章 线性代数 方程组 第一节 矩阵的秩 第二节 线性代数方程组的解 第三节 向量的线性相关与线性无关 第四节 线性方程组的结构 第一节 矩阵的秩 3.1.1 矩阵的秩的概念 3.1.2 秩的计算 3.1.2 矩阵秩的计算 第二节 线性代数方程组的解 3.2.1 齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理 3.2.2 齐次与非齐次线性方程组求解步骤与举例 3.2.1 齐次与非齐次线性方程组 相容性的判定定理 定理3 n元线性方程组Ax=b （1）无解的充要条件是r(A)＜r(?)； （2）有惟一解的充要条件是r(A)=r(?)=n； （3）有无限多解的充要条件是r(A)=r(?)＜n. 3.2.2 齐次与非齐次线性方程组的 求解步骤与举例 1. 对于非齐次线形方程组，把它的增广矩阵?化成阶梯形，从?的行阶梯形可同时看出r(A)和r(?).若r(A)＜r(?)，则方程组无解. 2. 若r(A)=r(?)，则进一步把?化成行最简形式.而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形式. 第三节 向量的线性相关 与线性无关 3.3.1 概念 3.3.2 性质 3.3.3 向量组的秩 3.3.4 矩阵的行秩与列秩 3.3.1 向量的线性相关与线性无关的概念 定义3 对给定的一组k个向量 ，若存在不全为零的数 ，使成立 称这k个向量（或该向量组）是线性相关的；相反，当且仅当 时上式才成立，则称它们是线性无关的. 3.3.2 性质 定理5 向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表示（k≥2）. 定理6 若已知向量 线性无关，而加上向量 后，向量 ，成线性相关，则向量 必可由 线性表出，且表出式是惟一确定的. 3.3.3 向量组的秩 3.3.4 矩阵的行秩与列秩 第四节 线性方程组解的结构 3.4.1 齐次线性方程组 3.4.2 非齐次线性方程组 定义5 若 是给定向量组 的一个最大线性无关组，则称该最大线形无关组所含向量的个数r为给定向量组的秩. 等价向量组：对给定的两组向量，若前一组的每个向量皆可由后一组向量线性表出，同时，后一组的每个向量也可由前一组向量线性表出，就称这两组向量等价. 返回 定义6 对m×n矩阵， 分别称列向量组 及行向量组 的秩A的列秩与行秩，分别记作 及 . 定理7 设A是任一m×n矩阵，则其列秩 必等于A的秩r(A)；行秩 必也等于A的秩r(A)，即有 = =r(A)． 返回 3.4.1 齐次线性方程组 3.4.2 非齐次线性方程组 返回 齐次线性方程组解的性质： 1.两个解的和还是方程组的解； 2.一个解的倍数还是方程组的解； 3.解的线性组合还是方程组的解. * * 返回 3.1.1 矩阵的秩的概念 定义1 对于m×n矩阵A，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩(rank)，记作r(A)，并规定r(0)=0. 例1 求下面矩阵的秩： 因为矩阵没有4阶子式，则r(A)4; 矩阵A的第1、2行是对应成比例的，而A的任一个3阶只是必然同时含有A的第1和第2行的部分，按行列式的性质知A的任一3阶子式皆等于零，故r(A)3； 并且有2阶子式 所以r(A)=2. 矩阵的秩的一些相关性质 若发现A有一个非零k阶子式，则必有r(A)≤k.而在r(A)=k时，表明A又非零的k阶子式，但并不说明A的k阶子式均不为零，然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零. 若A是m×n矩阵，则必有 r(A)≤min(m,n) r(A)=r(A) 当且仅当A是零矩阵时，r(A)=0. 若A是n阶矩阵，则r(A)≤n，当且仅当det(A)≠0时， r(A)=n，故也将行列式不为零的矩阵（非退化矩阵）称为满秩阵，并称退化阵为降秩阵. 返回 定义2 称满足以下两个条件的m×n矩阵为梯矩阵： 1. 第k+1行的首非零元（如果有