线性代数定理.ppt

* * 本教材所学所有定理 定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 定理1.2 n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。 定理1.3 (◆) 定理1.4 n阶行列式D =|aij|等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 + …+ + …+ D = i =1,2,3,…,n j =1,2,3,…,n 定理1.5 n阶行列式 某一行(列)的元素与另一行(列) 对应元素代数余子式乘积的和等于0,即: 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 定理1.7、克莱姆法则 那么线性方程组(1.9)有唯一解， 其中Dj是把系数行列式D中第j列 的元素用方程组右端的常数项代替 后所得到的n阶行列式， 解可以表为 定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13) 的系数行列式 D≠0,则它仅有零解. (1.13) 常用此定理的逆否命题:如线性方程组(1.13)有非零解,则 D=0. (D≠0 xj=0 j=1,2,..,n) (xk ≠ 0 D=0 如果有k, 1≤ k ≤n) 定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件为 定理2.2 矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等方阵左(右)乘A. 定理2.3 经过若干次初等变换,可以化为 ◇推论: 定理2.4 n阶矩阵A为可逆的充要条件是它可以表成一些 初等矩阵的乘积. 定理2.5 矩阵经初等变换后,其秩不变. 定理3.1 定理3.2 Ax=0有非零解 定理3.2推论:当mn 时,齐次线性方程组(3.9)有非零解. 定理3.3 设向量 则: 定理3.4 如果向量组（A）可由向量组（B）线性表示，而向量组（B）可由向量组（C）线性表示，则向量组（A）可由向量组（C）线性表示。 定理3.5 设m维列向量组 其中: 则: 定理3.5的另一个说法: 设m维列向量组 其中: 则: 定理3.5的另一种叙述: 设m维行向量组 其中: 则: 定理3.5推论1:设n个n维向量 则: 定理3.5推论2:当向量组中所含向量的个数大于向量的 维数时,此向量组线性相关. 小结: 对于m维向量组 (1)向量个数n向量维数m (A扁) 则向量组必线性相关. (2)向量个数n=向量维数m (A方) (3)向量个数n向量维数m (A长) (由定理3.5来判断) 定理3.6 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性 相关,则整个向量组线性相关. 定理3.7 向量组 线性相关的充 要条件是:其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性 组合. 定理3.8 如果向量组 线性相关. 线性无关.则向量 可由向量组 线性表示且表示法唯一. 定理3.9 设有两个向量组: 为(A) 为(B) 向量组(B)可由向量组(A)线性表示,如果 或说:长向量组可由短向量组线性表示, 则长的向量组必线性相关. 则向量组(B)线性相关. 定理3.9的另一说法:设有两个向量组: 为(A) 为(B) 向量组(B)可由向量组(A)线性表示,如果(B)线性 无关,则有: 即: 线性表示 线性相关 线性表示 不长 长向量组 短向量组 线性无关向量组 向量组 定理3.9推论:设有两个向量组: 为(A) 为(B) (2)向量组(A)与向量组(B)都是线性无关的. 如果:(1)向量组(A)与向量组(B)等价, (两个无关向量组等价必等长） 定理3.10 它是极大无关组 推论1:向量组与它的极大无关组等价。 定理3.11,对于任一矩阵A, 定理3.12 等价向量组的秩相等. 定理3.13 如果齐次线性方程组(3.9)的系数矩阵A的 秩r(A)=rn，则方程组的基础解系存在,且每个基础 解系中,恰含有n-r个解. 推论：向量组与它的极大无关组秩相等。 线性关系与 的列向量间的线性关系完全相同. 性质:A经初等行变换化为 ,则A的列向量间的 (3)解向量组的秩=n-r. (2)基础解系的秩为n-r (4)还有,方程组的自由变量也是n-r. (5)Ax=0的通解中有n-r个任意常数. (1)基础解系中的解向量有n-r个. 定理3.14 非齐通解=非齐特解+齐通解. 定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值. 定理4.2(公式版) 设A=(aij)是n阶矩阵,如果 有一个成立 定理4.3 定理4.4 (其中可能有重根、复根），则 即： 定理4.5 若n阶矩阵 A与B相似,则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值相同. 定理4.5推论 若n阶方阵A与对角阵 *