线性代数4.2向量集的秩.ppt

定理6 对给定的两组向量a1、… ak; b1、… bs， 若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,…,k) 皆可依后一组向量线性表出，则 k ≤ s. 定理6’对给定的两组向量a1、… ak; b1、… bs，若前一组 的每个向量aj(i=1,…,k)皆可依后一组向量线性表出，则前 一组的秩r1不超过后一组的秩r2，即 r1≤ r2 定义 对给定的两组向量, 若前一组的每个向量皆可依后一组向量线性表出, 同时, 后一组的每个向量也可由前一组向量线性表出, 就称这两组向量等价. 特别, 每组向量均与其最大线性无关组等价. 定理 两组等价向量的秩必相等. 注 r(A)=r A必有r个线性无关的列向量，而A的任意一组多于r个的列向量一定是线性相关的. A有r阶非零子式存在，而所有高于r阶子式之值必为零； 矩阵的秩的性质 若 A 为 m×n 矩阵，则 0 ≤ r(A) ≤ min(m, n) ． r(AT) = r(A) , r(aA) = r(A) ． 若 A ~ B，则 r(A) = r(B) ． 若 P、Q 可逆，则 r(PAQ) = r(A) ． 矩阵的秩的性质 max{r(A), r(B)} ≤ r (A, B) ≤ r(A)＋r(B) ． 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 r(A) ≤ r(A, b) ≤ r(A)＋1 ． r(A＋B) ≤ r(A)＋r(B) ． r(AB) ≤ min{r(A), r(B)} ． 若有矩阵Am×n ，Bn×p，则 r(A) ＋ r(B) - n ≤ r(AB) . 例 设 A 为 n 阶矩阵，证明 r(A＋E)＋r(A－E) ≥ n ． 证明 因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“r(A＋B) ≤ r(A)＋r(B) ”有 r(A＋E)＋r(E－A) ≥ r(2E) = n ． 又因为 r(E－A) = r(A－E)，所以 r(A＋E)＋r(A－E) ≥ n ． * * * * * * * * * * 1、向量集的线性相关与线性无关 §4.2 向量集（组）的秩 2、向量集的秩 3、关于矩阵秩的定理 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量集（组）． 结论：含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵． 有限向量组 1、向量集的线性相关与线性无关 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示． 例：设 那么 线性组合的系数 e1, e2, e3的 线性组合 一般地，对于任意的 n 维向量 b ，必有 n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量． 结论：含有限个向量的有序向量组等同于一个矩阵． 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.92 4-8’的结论： 问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？ 问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？ 向量b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 . 问题1′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答 齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km = 0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam = 0（零向量） 问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？ 问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？ 向量b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 . 问题2′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零． 定义 则称向量 的数 为 一向量集，若存在不全为零 线性相关，否则称它们线性无关. 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关(无关) m 元齐次线性方程 Ax = 0 有非零解(零解) r(A) m (r(A) = m ) 依据前面的分析可得如下重要结论 其中向量的