线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好).doc

课题 线性规划的常见题型及其解法答案 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有：1．求线性目标函数的最值．2．求非线性目标函数的最值．3．求线性规划中的参数．4．线性规划的实际应用． ．【】已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为(　　) A．[723] B．[823] C．[78] D．[725] 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直线y＝－x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23．【】变量x，y满足 (1)设z＝，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围． 点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点(x，y)和连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方． (1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示． 由解得A．由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．z＝＝×z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin＝×＝． (2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝．2≤z≤29．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝816≤z≤64． 1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z＝ax＋by． 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． (2)距离型：形z＝z＝z＝(x－a)2＋(y－b)2z＝x2＋y2＋x＋y＋． (3)斜率型：形如z＝z＝，z＝，z＝． 提醒　注意转化的等价性及几何意义． 角度一：求线性目标函数的最值 1．(2014·Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　) A．10　　　　　　　　B．8 C．3 D．2 解析作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8．B 2．(2015·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　) A．3 B．4 C．18 D．40 解析作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18． 答案C 3．(2013·)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为(　　) A．－6B．－2　 C．0　 D．2 解析如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分， 令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6． 答案A 角度二：求非线性目标的最值 ．(2013·)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　) A．2 B．1 C．－ D．－ 解析已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－．解析C　 ．已知实数x，y满足z＝的取值范围． 解由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝2＋的取值范围可转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1][2＋4，＋∞)． (－∞，1][2＋4，＋∞)．