7.2偏导数与全微分.ppt

* §7.2 偏导数 与 全微分 * 一．偏导数 1. 一元函数变化率与多元函数变化率 ① 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢） o x y P x ● 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率﹑随y变化的变化率﹑随x﹑y同时变化的变化率。 即点P(x,y)在域D内可沿x轴﹑沿y轴﹑沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。 o x y z M P D * * 2．偏导数定义 定义8.4 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果固定 后，一元函数 在 点 处可导，即极限 存在，则称A为函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记为 或 * 记为 或 类似地， 在点 处对y的偏导数定义为 * 3．偏导函数概念 ① 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点 (x,y)处对 x（ y ）的偏导数都存在， 则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 ② 记号： 或 或 ④ 在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。 ③ z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0)处的函数值. * 4. 偏导数的几何意义 ——切线M0Ty对y轴的斜率 o x y z M0 P0 x0 y0 Ty Tx z=f(x0,y) z=f(x,y0) ——切线M0Tx对x轴的斜率 * 5．偏导数的计算法 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算： 求 时，只要把y暂时看作常量而对x求导数； 求 时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。 * 例 1求 在点(1,2)处的偏导数。 解 * 例2 求 的偏导数。 解： * 解: 例3 设 求证： * 例4 求 的偏导数。 解: * 6.高阶偏导数 二阶偏导数： 设 为D上的二元函数 ，则其在 D上的偏导数为 若二元函数 的偏导数也存在， 则称其是函数 的二阶偏导数。 * z=f(x,y)的二阶偏导数 记号： * 例5 求二阶偏导数 解： * 解： * [注记]： ① 若 在D内连续，则在D内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！） ② 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、…、n阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； ③ 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个； 等等。 * 7. 偏导数的经济意义 边际需求: 偏弹性: 两种商品，价格分别为 和 需求函数： 称为边际需求 发生变化，而 不变时 其中： * 发生变化，而 不变时 其中： 称为1商品需求量 对自身价格 的直接价格偏 弹性； 称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性。 * 二．全微分 1．全增量 ⑴偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。 如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加 ?x(或宽增加?y)，则面积的增量是偏增量。 * 如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变，这时面积的改变量（增量）就是全增量。 ⑵全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取得增量时，函数z的增量称为全增量。 o x y x0 y0 y0+△y x0+△x x0△y y0△x △x△y * 2．全微分