线段的垂直平分线和角平分线的复习.ppt

* * * * 线段的垂直平分线和角平分线的复习 线段垂直平分线的定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. ∵MN⊥AB, CA=CB(已知) ∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点 到这条线段两个端点的距离相等） 1 2 C B A M N P 1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。 2、如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE。 线段垂直平行线的逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知) ∴点A在线段BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。 在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等． 角的平分线的性质定理： A B O 1 2 P E D C ∵OP平分∠AOB ， PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE （在角的平分线上的点到 这个角两边的距离相等）． 练习 下列过程是否正确？ A B O P E D ∴点P在∠AOB的平分线上. ∵ PD=PE, （在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）. 错误. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） A B O 1 2 P E D C 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 角平分线性质定理的逆定理： ∴OP平分∠AOB ∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE. （在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上）. ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，（ ） DB DC 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 √ 不必再证全等 如图，已知及线段a，点C在OM上，求作点P，使点P到OM、 ON的距离相等，且PC=a. 分析：（1）到OM、ON的距离相等的点的轨迹是什么？ （2）满足PC=a.点P的轨迹是什么? P2 P1 ∴点P1、P2为所求的点. 威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B C 实际问题1 B A C 线段的垂直平分线 1、求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等. 实际问题 数学化 p PA=PB=PC 实际问题1 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 烟 威 高 速 公 路 实际问题2 在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 院的院址应选在何处？ A B 线段的垂直平分线 2、如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB. L A B 实际问题 数学化 实际问题2 p PA=PB 数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务 已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB 的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米, ΔBDC的周长20厘米. 求:AB的长. A B C D M N 已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC. 求证:点C在AD的垂直平分线上. A B C D 8 例 1已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上. 分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？ （3）能得到什么结论? （4）用什么定理来证明结论? （