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控制系统的数学模型 一、定义 控制系统的数学模型是描述系统中各元件的特性以及各种信号（变量）的传递和转换关系的数学关系式。 传递函数 控制系统的结构图 控制系统的结构图：描述系统各组成元部件之间信号传递的数字图形。 特点：（1）不需要使用消元法 （2）能直接反映中间变量。 二、建立结构图的步骤 （1）建立系统各元部件的微分方程； （2）对各微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图； （3）按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来；置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，得到系统的结构图。 （2）并联连接：两个或两个以上的方框有相同的输入量，而输出量为每个方框输出量的代数和； （3）反馈连接： （4）比较点和引出点的移动 1）比较点前移（逆着信号线的指向移动） 3）相邻比较点之间的移动 例 化简下面的结构图，并求传递函数 信号流图 1、信号流图的概念 信号流图：由节点和支路组成的信号传递网络，是一种表示一组联立线性代数方程的图。 例如： 2、几个术语 节点：用来表示变量或信号的点，用“。”表示。 支路增益：两个节点之间的增益。 支路：连接两个节点的定向线段，具有一定的增益。（乘法器） 输入节点（源节点）：只有输出支路的节点，对应于自变量。 输出节点（阱节点）：只有输入支路的节点，对应于因变量。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径。 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。 前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。 回路增益：回路中各支路增益的乘积。 不接触回路：如果回路之间没有公共节点，称它们为不接触回路。 3、信号流图的性质 （1）节点表示的变量是所有流向该节点的信号之和，而从同一节点流向各支路信号，均用该节点变量表示； （2）支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿着支路的箭头方向传递，而没有相反的关系； （3）在混合节点上，增加一条具有单位增益的支路，可把混合节点变为输出节点，即分离出系统的输出变量; 注意：用这种方法不能将混合节点变为输入节点。 （4）对于给定系统，信号流图不是唯一的； （5）信号流图只适用于线性系统。 4、信号流图的绘制 （1）由系统微分方程绘制信号流图 5、梅逊(Mason)增益公式 输入输出节点间总增益（或传递函数）为 例 例5： 例： 第4章 线性系统的根轨迹分析法 4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本规则4.3 控制系统根轨迹绘制示例4.4 基于根轨迹法的系统性能分析 第5章 线性系统的频域分析法 5.1.2 频率特性的表示方法 5.2.1 对数坐标图及其特点 1．波德图的坐标轴 系统对数频率特性的绘制 极坐标图 5.3.2 开环系统极坐标图的绘制 最小相位系统频率特性绘制 5.4 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据的应用步骤 5.4.3 系统含有积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用 6.1 设计和校正的基本知识6.2 基于伯德图的相位超前校正6.3 基于伯德图的相位滞后校正6.4 基于伯德图的滞后-超前校正6.5 PID控制器 上述结论同样可由劳思—赫尔维茨判据得到。 劳斯阵： 要使系统稳定，则第一列都大于0 于是得：－10 K 26。 [例]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和K的关系。 - [解]： 开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。 由图中看出：当K 1时,奈氏曲线逆时针包围 (－1，j0)点一圈，N=－1，而P = 1，则Z = N + P = 0闭环系统是稳定的。 显然，K 1时，包围 (－1，j0)点，K 1时不包围(－1，j0)点。 K=1时穿过(－1，j0)点。 当K=1时，奈氏曲线通过(－1，j0)点，属临界稳定状态。 当K1时，奈氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，P = 1，所以 Z = N + P = 1，闭环系统不稳定。 具有开环为0的极点系统，其开环传递函数为： 可见，在原点有v重0极点。也就是在s=0点，Gk(s)不解析，若取奈氏路径同上时(通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆)，不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成： ④ 半径为无穷小的右半圆，