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齐次矢量亥姆霍兹方程（The Helmholtz Equation） 若时变电磁场为时谐场，齐次波动方程可用下式表示 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中 为波数（Wave number）， 是波速。 在均匀、线性各向同性且无局外电源的导电媒质中，Maxwell方程组的复数形式为： 波动方程为 式中： —复数介电常数 —传播常数（Propagation constant） —衰减常数（Attenuation constant） —相位常数 （Phase constant） —波数（Wave number） —导电媒质的损耗角 —损耗角正切 2. 标量位和矢量位 【时变场的位函数】 仍从电磁场基本方程组出发, 称为矢量磁位和标量电位 由 由 电磁场可用位函数表示 【洛仑兹条件和达朗贝尔方程】 由 由 经整理后，得 洛仑兹条件（规范） 定义A 的散度 达朗贝尔方程 (Dalangbaier Equation)，这是非齐次波动方程 根据 2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程 ? 简化了动态位与场源之间的关系，使得 A 单独由 J 决定， 单独由 决定，给解题带来了方便； ? 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。 1） 洛仑兹条件（Lorenz Condition)的重要意义 ? 确定了 的值，与 共同唯一确定 A ； 对达朗贝尔方程 (1) 两边取散度 得 代入洛仑兹条件 交换微分次序 将达朗贝尔方程 (2)代入上式，得 整理得 电流连续性方程 即 证毕。 它表明洛仑兹条件（ ）隐含着重要的物理意义。 【证明】 2） 达朗贝尔方程的积分解 以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。 【通解的物理意义】 f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。 式中 具有速度的量纲 ，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。 （除 q 点外） 有 图4.3.1 的物理意义 将元电荷置于坐标原点上，在球坐标系下 这是 的一维齐次波动方程，其通解为： 由此推论，时变点电荷的动态标量位为 可以证明：该解满足齐次波动方程。 在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。 它表明： f2 在 时间内, 以速度v 向( -r )方向前进了 距离,故称之为反射波。 【解的表达式】 连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得 无反射 波的入射、反射与透射 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 ，其特解为 （无限大均匀媒质） （无反射） 当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。 ? 电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。 ? 达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取决于 时刻激励源的情况。 故又称 A、 为滞后位（Retarded Potential）。 它表明： f1是一个以速度 沿 r方向前进的波。 若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式 （无反射） ? 电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为波速 m/s ? 它具有速度的量纲；且通解中的 经过 后得以保持不变，必有自变量不变，即 作 业 　Page240: 6-14，6-15，6-22，6-23 【例 2】 已知内截面为a ? b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。 a z y x b x z y x y z ?g b a 磁场线 电场线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 ① 由前式求得位移电流为 ② 在 y = 0 的内壁上 在 y = b 的内壁上 a z y x b 在 x = 0 的侧壁上， 在 x = a 的侧壁上， 在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因 ，所以 。 a z y