差分方程.ppt

* 差分方程与微分方程 一、人口模型 二、鱼类生存竞争的数学模型 三、捕鱼模型 四、鱼的种群数量发展规律 五、树群增长的数学模型 六、动物饲养的数学模型 七、常微分方程初值问题的数值求解方法 1. 离散形式马尔萨斯（Malthus）模型（1798） P(n)表示某人口群体在第n年的总数，设初始年为零，记为P(0)，令增量ΔP(n)=P(n+1) - P(n).马尔萨斯认为，人口的增长速度与人口的总数成正比，即 ΔP(n)=b P(n) 其中，b表示出生率与死亡率之差。于是 得一阶差分方程 P(n+1) = (1+b)P(n) 反复递推,得 当b0时，随着n的增大，P(n)无限增大，就象马尔萨斯所说的，“人口按几何级数增大”。 比利时人口学家verhulst将马尔萨斯模型修改为 P(n +1) = (1+ b) P(n) – c (P(n)) 2 他认为个体的存活机会依赖于自身应付同其它人竞争冲突的能力。c是竞争冲突常数。 考虑这一模型的数值计算求解。取b = c = 0.1，P(0) = 0.8计算，可以得出人口总数随时间变化逐渐增大并稳定在一个不变的水平上。如果取P(0)=1.5计算，可以得出人口总数随时间变化逐渐减少并稳定在同一水平上。 3.连续形式马尔萨斯模型 设某生物群体的总数N随时间t连续变化（这种假定对诸如原子、细菌、记忆细胞等总数充分大的群体是合理的），并设N(t)关于t可微，则马尔萨斯模型可以用微分方程表示 2.verhulst模型（1840） 设在时刻t = 0有初值 N (0) = N 0 ，在以后的任何时刻群体总数由微分方程解函数描述 4. Logistic模型 verhulst模型的连续形式是微分方程 或 在这一模型中,常数 k被称为环境容量. 参考文献：萧礼、张志军编译，《模型数学》——连续动力系统和离散动力系统，科学出版社，1998 1.储蓄问题 银行帐户的钱数增长服从马尔萨斯法则。设b是利率，令P(n)为第n年开始时帐单上的钱的总数，则有 P(n + 1) = P(n) + bP(n)= (1 + b)P(n) (1)假设某公司有200万元存在银行，如果以年计息b=0.04请分别计算一年后、两年后、……、第六年后银行帐户上的存款数目；如果利息不变，按月计息b应该为多少？ (2）依照下列利率：1%，2%，5%，7%，13%按年计息使一笔存款达到本金的两倍分别计算所用的时间是多久。 2.蚂蚁群体问题 蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比。如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半。然而，由于要产幼蚁，出生率也同群体总数成正比变化。并且两周内蚁群总数翻一番。试确定每周该群体的出生率，将连续解同用差分方程所得离散解作比较。 本世纪二十年代，意大利生物学家（D’Ancona）在研究互相依赖、互相制约的各种鱼类总数增长情况时，发现在第一次世界大战期间食肉的鱼类占鱼类总数的百分比急剧增加，他认为这是由于战争时期整个捕鱼量大大减少的缘故。但是为什么捕鱼量的减少会对食肉鱼有利呢？生物学家将此问题求教于一位意大利数学家（Volterra）。 Volterra将鱼分成两类：食用鱼及食肉鱼，分别以x(t) y(t)表示它们在时刻t时的总数。假定食用鱼有充分的食物，而食肉鱼是以食用鱼为食物的。 如果不存在食肉鱼，食用鱼x(t)的增长应服从马尔萨斯模型，但是有食肉鱼的存在，则被食肉鱼吃掉是食用鱼死亡一个重要原因。两种鱼相遇（发生被吃现象）机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模型的基础上增加一项：- bxy，即 假定食肉鱼的出生率与群体规模y(t)成正比，而真正能活下来的小鱼只是那些找到食物部分（与食用鱼相遇部分），所以它的有效出生率是与两种鱼规模成正比。我们假定它的自然死亡率也与群体规模y成正比，即 在人类没有捕捞的情况下，两种互相制约的鱼类的群体规模增长规律性可用常微分方程组描述（Volterra模型） 参考文献：电子科技大学数学系，《实用数值计算方法》，高等教育出版社，2000年 问题1：根据常微分方程组右端常数分别讨论：y的变化对x的影响，x的变化对y的影响。 问题2：当x0，y0时Volterra模型在相平面上的轨线满足一阶常微分方程 问题3. 取参数a =1，b =0.01，c =0，d =0.02。取初值为x(0)=20，y(0)=20。求该问题的数值解并作图，结合图形分析两个生物种群数量变化的规律。 渔业资源是一种再生资源。在渔场中捕鱼从长远利益来看，既希望能使渔声中鱼量保持稳定，同时又获得最大捕鱼量和最优的经济效益。假设如下： (1)无捕捞时，鱼量变化符合Logistic模型；