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正态分布的复习 一、列维—林德贝格中心极限定理 定理（列维—林德贝格中心极限定理） 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列, 期望μ,方差σ20, 则当n充分大时, 列维—林德贝格定理的注意事项 (1)一般地,只要n比较大,就可应用以上定理; (2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法. 例题讲解 例1、用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率? 中心极限定理的注解 中心极限定理是概率论的一个非常重要的定理. 对中心极限定理, 只需要记住这样一个描述就行: 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要它们大小相差并不悬殊, 则加起来以后得到的随机变量, 就近似服从正态分布. 二项分布的复习 X～B(n,p) 二、棣莫佛---拉普拉斯定理(最早的中心极限定理) 推论: 棣莫佛---拉普拉斯定理注意事项 注意(1).它表示当n重 Bernoulli实验次数很大时(n≥100,p接近于0.5),二项分布可用正态分布近似逼近,期望为np,方差为npq . (2)P(X=m)=P(m-0.5X≤m+0.5) 例题讲解 例3、 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 解 开着的灯数X~B(10000,0.7) 二项分布计算总结 §3.4 中心极限定理 在实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的，其中每一个因素在总的影响中起的作用是微小的。这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布。 以一门大炮的射程为例，影响大炮射程的随机因素包括：大炮炮身结构导致的误差，炮弹及炮弹内炸药质量导致的误差，瞄准时的误差，受风速、风向的干扰而造成的误差。其中每一种误差造成的影响在总的影响中起的作用都是微小的，并且可以看成是相互独立的，人们关心的是这众多误差因素对大炮射程造成的总的影响。因此需要讨论大量独立随机变量和的问题。 数理统计中许多复杂随机变量的分布可以用正太分布近似，而正态分布有很多完美的理论，从而获得既实用又简单的统计分析。本节介绍两个基本结论。 中心极限定理是棣莫弗在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。这些定理在很一般的条件下证明了无论随机变量 服从什么分布，当 时n个随机变量的和 的极限服从正态分布。 X~N(μ,σ2) 定理 设X~N(μ,σ2), 则Y~N(0,1). P(Xa)= P(Xa)= P(aXb)= 解: 设一箱味精净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi(i=1,2,…,200) 则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100, n=200 由中心极限定理得: P(X20500)= 1-P(X≤20500) =1-F(20500) =0.0002 故 一箱味精净重大于20500的概率为0.0002. 例题讲解 例2、一个螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100克, 标准差是10克. 求一盒(100个)螺丝钉的重量超过10.2公斤的概率. 解 ：设一盒重量为X, 盒中第i个螺丝钉的重量为 且它们之间独立同分布，于是 由中心极限定理可知 P(X10200)= 1-P(X≤10200) =1-F(10200) =0.02275 故 一盒螺丝钉重量超过10.2公斤的概率为0.02275. 定义：若在一次实验中成功的概率为p(0p1), 独立重 复进行n次,则在n次中实验成功的次数X服从的 分布为二项分布: 特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， Ｘ～Ｎ（np，npq） 即若随机变量Ｘ～Ｂ(n，p),则对任意实数x有 正太分布是二项分布的极限分布。 此处区间越小越精确,习惯上取长度为1的对称区间 Ｘ～Ｎ（np，npq） 例题讲解 例4、某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛---拉普拉斯分定理 ,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值. 解：设X表示100户中被盗索赔户，X～B(100, 0.2) 由中心极限 定理X ～N(np, npq)， 即X ～N(20, 16) Ｘ～Ｎ（np