弹性力学 第十二章板弯曲(ding)新.ppt

9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件 与板的上下板面相比，板边是次要边界条件。 因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件替换称为内力的边界条件，即横向剪力及弯矩边界条件。 同时，板边的位移边界条件也相应地替换为中面的挠度及转角的条件。 9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件—简支边OC边(y=0): 如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。 简支边OC边(y=0): 如果简直边上有分布的力矩荷载M(一般是x的函数)，则(My)y=0=M。但仍可以化简为挠度w的形式。 9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件—固定边OA边(x=0): 如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。 固定边OA边(x=0): 简支边OC边(y=0): 9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件—自由边AB边(y= b) 自由边AB边(y=b): 薄板任一边的扭矩都可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效剪力。与原来的横向剪力合并，边界条件由三个归并为两个。 Twisting moments are replaced by a statically equivalent shearing force扭矩的等效剪力—自由边AB（y=b） 边界AB上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力。 9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件—自由边AB边(y= b) 自由边AB边(y=b): 用挠度w表示 自由边边界条件 注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。 9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件—自由边BC边(x=a) 自由边BC边(x=a)(与y=b)类似。 用挠度w表示 自由边边界条件 注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。 9.4 Boundary Conditions9.4 边界条件—自由边AB与BC的交点(x=ay=b) 自由边AB与BC的交点(x=a,y=b) 用挠度w表示 两个自由边交点集中力表达式。 注意：若在B点没有任何支柱对薄板对薄板施以此项集中反力，则在B点还需要补充以交点条件：FRB=0 如果在B交有支柱阻止挠度发生。则上述交点的边界条件变为： 9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答 边界条件为： 9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答 纳维把挠度w的表达式取为重三角级数： m，n为正整数。上式满足全部边界条件。 把q=q(x,y)展开为重三角级数： 9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答 纳维把挠度w的表达式取为重三角级数： 9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答 利用均布荷载作用的结果，可以求出集中力F作用的结果。 9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答 均布荷载作用下： 求出内力。 9.6 矩形薄板的单三角级数解答 边界条件为： 承受任意横向荷载： 莱维将表达式取为： 9.6 矩形薄板的单三角级数解答 莱维把挠度w的表达式取为单三角级数： 把q=q(x,y)展开为三角级数： 9.6 矩形薄板的单三角级数解答 莱维把挠度w的表达式取为单三角级数： 非其次方程的任意一个特解。 待定系数由边界条件求得。（参考书上P193~194） 重三角函数解和单三角函数解的比较（参考书上P194） 9.7 矩形薄板的差分解 弹性曲面的微分方程： 差分方程： 9.7 矩形薄板的差分解 差分方程： 边界条件： 只有简支边和固定边界： 简支边： 固定边： 9.7 矩形薄板的差分解 差分方程： 边界条件： 自由边：边界上的结点值作为未知量。 利用边界条件可以将边界外第一行和第二行用边界上和边界内的结点表示。 9.8 圆形薄板的弯曲（P198~200）自学 9.8 圆形薄板的轴对称问题（P200~202）自学 9.7 矩形薄板的差分解 内力： * 广义力 广义应变 曲率 扭率 薄板弯曲内力： 薄板弯 曲刚度 薄板平衡方程： 1. Express u and v in terms of w 1. 将u 和 v 用挠度w表示 前面已经导出： 对 z 进行积分 由于： 因此： 2.Express strain components in terms of w2. 将主要应变分量 用挠度w表示 将u，v用代入几何方程 3. Express stress components ?x，?y，?xyin terms of w3. 将主要应力分量?x，?y，?xy