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* Page * 指派问题 指派问题 assignment problem 指派问题 assignment problem 【例1】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人．经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如下表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。 88 80 90 86 丁 90 79 83 82 丙 95 78 87 95 乙 90 73 92 85 甲 D C B A 工作 人员 表5-34 【解】设 数学模型 数学模型为： 甲 乙 丙 丁 A B C D 图5. 3 指派问题 assignment problem 假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij≥0，效率矩阵为[cij] ，如何分配工作使效率最佳（min或max）的数学模型为 指派问题 assignment problem 解指派问题的匈牙利算法 匈牙利法的条件是：问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负 【定理1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数ui（被称为该行的位势），从每一列分别减去（或加上）一个常数vj（称为该列的位势），得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负． 指派问题 assignment problem 【证】 【定理2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素（称为独立元素）的最大个数． 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解． 两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。 指派问题 assignment problem 【例2】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示．求最优生产配置方案． 280 200 55 82 工厂4 250 170 70 65 工厂3 230 150 50 75 工厂2 260 180 69 58 工厂1 产品4 产品3 产品2 产品1 指派问题 assignment problem 第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有 指派问题 assignment problem 【解】问题求最小值。 第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减去最小元素，有 第三步：用最少的直线覆盖所有“0”，得 第四步：这里直线数等于3（等于4时停止运算），要进行下一轮计算． 从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小数k并且减去k，矩阵中k＝5． 直线相交处的元素加上k，被直线覆盖而没有相交的元素不变，得到下列矩阵 指派问题 assignment problem 第四步等价于第2、3行减去5，同时第1列加上5得到的结果 第五步：覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在4个不同行不同列的零元素．容易看出4个“0”的位置 ( ) × × ( ) × ( ) ( ) 或 ( ) × × ( ) × ( ) ( ) 指派问题 assignment problem 得到两个最优解 有两个最优方案 第一种方案：第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品3，第三个工厂加工产品4，第四个工厂加工产品2； 第二种方案：第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品4，第三个工厂加工产品3，第四个工厂加工产品2； 单件产品总成本 Z＝58＋150＋250＋55＝513 指派问题 assignment problem 其它变异问题 指派问题 assignment problem 1 ) 最大化指派问题 对于最大化指派问题，假定系数矩阵为　　　　　，令　　　　　　，再令　　　　　　　，这样就把系数矩阵C的原最大化指派问题化成系数矩阵为B的最小化指派问题。两者具有相同的最优解。 2）人数与事数不等的指派问题 对于人数与事数不等的指派问题，通过如下方法，将其化为标准的指派问题： （1）如果人少事多，增加一些虚拟“人”，虚拟“人”做事的费用系数取为0; （2）如果人多事少，增加一些虚拟“事”，虚拟“事”做事的费用系数也取为0； 3）一个人可做几件事的指派问题 可将某个人化作同样几个“人”接受指派，这几个“人”做同一件事的费用系数一样。 4）某事一定不能由某人做的指派问题 可将相应的费用系数取为足够大的数M。 【例3】 求例1的最优分配方案 指派问题 assignment problem 人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人．经考核四人在不同岗位