DP-区间类型动态规划.ppt

* * * 均方差公式化简 * 分析 由化简后的均方差公式： 可知，均方差的平方为每格数的平方和除以n，然后减去平均值的平方，而后者是一个已知数。 因此，在棋盘切割的各种方案中，只需使得每个棋盘内各数值的平方和最小即可。 因此，我们需要求出各棋盘分割后的每个棋盘各数平方和的最小值，设为w，那么 答案为： * 棋盘切割后的四种情况 * 动态规划 设F(i,x1,y1,x2,y2)表示以[x1,y1][x2,y2]为四边形对角线的棋盘切割成k块的各块数值总平方和的最小值，则有： 1=X1,x2,x3,x4=8,1=i=n。 设棋盘边长为m,则状态数为nm4 ,决策数最多m。 先预处理从左上角(1,1)到右下角(i,j)的棋盘和时间复杂度为O(m2)，因此转移为O(1),总时间复杂度为O(nm5)。 * 总结 该类问题的基本特征是能将问题分解成为两两合并的形式。解决方法是对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分的最优值进行合并得到原问题的最优值。有点类似分治的解题思想。 设前i到j的最优值，枚举剖分（合并）点，将(i,j)分成左右两区间，分别求左右两边最优值，如下图。 状态转移方程的一般形式如下： F(i,j)=Max{F(i,k)+F(k+1,j)+决策，k为划分点 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 区间类动态规划 长沙市雅礼中学 朱全民 整数划分 给出一个长度为n的数 要在其中加m-1个乘号，分成m段 这m段的乘积之和最大 mn=20 有T组数据，T=10000 * 贪心法 尽可能平均分配各段，这样最终的数值将会尽可能大。但有反例。如191919分成3段 19*19*19=6859 但191*91*9=156429，显然乘积更大。 将一个数分成若干段乘积后比该数小，因为输入数不超过20位，因此不需高精度运算。 证明： 假设AB分成A和B,且A,B10,则有 AB=10*A+BA*B(相当于B个A相加) 同理可证明A,B为任意位也成立 * 动态规划 可以先预处理出原数第i到j段的数值A[i,j]是多少，这样转移就方便了，预处理也要尽量降低复杂度。 F[i，j]表示把这个数前i位分成j段得到的最大乘积。 F[i,j]=F[k,j-1]*A[k+1,i], 1ki=n, j=m 时间复杂度为O[m2n] 由于有10000组数据，因此估计时间复杂度为10000*203=8*107 至于说输出，记录转移的父亲就可以了。 * 石子合并 在一园形操场四周摆放N堆石子(N≤100)； 现要将石子有次序地合并成一堆； 规定每次只能选相临的两堆合并成一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并,得分的总和最少 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并,得分的总和最大 * 示例 * 贪心法 N=5 石子数分别为3 4 6 5 4 2。 用贪心法的合并过程如下： 第一次 3 4 6 5 4 2得分 5 第二次 5 4 6 5 4得分9 第三次 9 6 5 4得分9 第四次 9 6 9得分15 第五次 15 9得分24 第六次24 总分：62 然而有更好的方案： 第一次3 4 6 5 4 2得分 7 第二次7 6 5 4 2得分13 第三次13 5 4 2得分6 第四次13 5 6得分11 第五次 13 11得分24 第六次24 总分：61 显然，贪心法是错误的。 * 分析 假设只有2堆石子，显然只有1种合并方案 如果有3堆石子，则有2种合并方案，((1,2),3)和(1,(2,3)) 如果有k堆石子呢？ 不管怎么合并，总之最后总会归结为2堆，如果我们把最后两堆分开，左边和右边无论怎么合并，都必须满足最优合并方案，整个问题才能得到最优解。如下图： * 动态规划 设t[i,j]表示从第i堆到第j堆石子数总和。 Fmax(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最大的得分 Fmin(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最小的得分 同理， Fmax[i,i] = 0，Fmin[i,i] = 0 时间复杂度为O(n3) * 优化 由于石子堆是一个圈，因此我们可以枚举分开的位置，首先将这个圈转化为链，因此总的时间复杂度为O(n4)。 这样显然很高，其实我们可以将这条链延长2倍，扩展成2n-1堆，其中第1堆与n+1堆完全相同，第i堆与n+i堆完全相同，这样我们只要对这2n堆动态规划后，枚举f(1,n),f(2,n+1),…,f(n,2n-1)取最优值即可即可。 时间复杂度为O(8n3),如下图： * 能量