数学建模选修课(四).ppt

综合练习：导弹追踪问题 某导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌舰一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该导弹基地立即发射一枚导弹跟踪追击敌舰，导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰。 试问导弹在何时何处击中敌舰？ 一、数学模型 如图建立坐标系，取导弹基地为原点O(0,0)，x轴指向正东方，y轴指向正北方。 当t=0时，导弹位于点O，敌舰位于点A(0,H)，其中H=120km。设导弹在t时刻位置为P(x(t),y(t))，由题意 (1) 其中v1=450km/h。 在t时刻，敌舰位于M(v2t,H)处，其中v2 =90km/h。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有 或 (2) 方程(1), (2)连同初值条件 (3) 构成了一个关于时间变量t的一阶常微分方程组的初值问题。 为了获得x与y的关系，要设法消去变量t，由(2)式得 两边对t求导得 即 将上式与(1)合并，再加上初值条件，则得如下初值问题 这就是导弹轨迹的数学模型。 二、模型的求解 1. 解析方法 模型中的二阶方程可以降阶。令 ，则方程可降为一阶可分离变量方程 即 易得 由初值条件 ，得 ，从而 注意到上式可改写为 于是有 这样我们又得到一个可分离变量方程 积分得 利用 ，得 ，从而导弹轨迹方程为 设导弹击中敌舰于B(L,H)，以y=H代入上式，得 击中敌舰的时刻为 代入具体数据得 。 2. 数值方法 可以用数值分析中介绍的Euler公式、改进的Euler公式和四阶Runge-Kutta公式来求解上述初值问题。 下面介绍两种解常微分方程的Euler方法和改进的Euler方法。 (1) Euler方法 将 在 上积分， ，得 用数值方法求上述积分。 ，得 ，称之为Euler公式。 ，得 称之为后退的Euler公式。 ，得 称之为梯形公式。 (2) 改进的Euler方法 Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。 称为改进的Euler公式，上式也可写为 例 用Euler公式和改进的Euler公式求解初值问题 此问题的准确解为 。 Euler公式： 改进的Euler公式： 下面用Euler公式和改进的Euler公式求解本问题。 由(1)(2)两式得， 取时间步长 ， 时导弹轨迹上点的坐标为 ，则Euler格式为 当计算到 时停止，故 或 ， 。 改进的Euler格式为 (3) 仿真方法（模型的检验） 如果建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而难以作出数值处理，常常可以用仿真方法，即模仿真实事件行为和过程的方法。在本问题中，就是在计算机上通过相应的程序和软件来一步步地模拟导弹追踪敌舰的实际过程。 设导弹和敌舰在初始时刻分别位于 和 ，此时, 导弹指向 。在 时，导弹位置为