高一上学期数学必修一、必修四期末知识点.doc

集合及其运算知识点 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． 2．集合间的基本关系 表示 关系　　 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A?B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 AB＝{x|xA，或xB} A∩B＝{x|xA，且xB} ?UA＝{x|xU，且xA} 函数知识点 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，xA. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． (3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．函数定义域的求法类型 x满足的条件 ，nN* f(x)≥0 与[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 3．函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y 性质法 y＝ex y(0，＋∞) 单调性法 y＝x＋ y[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y 分离常数法 y＝ y(－∞，1)(1，＋∞) ．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 续表 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． ．函数的最值前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意xI，都有f(x)≤M；(2)存在x0I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意xI，都有f(x)≥M；(4)存在x0I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 ．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 .奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． 两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． 一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. ．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． ．幂函数 (1)幂函数一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|xR，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|yR，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇