旋转曲面的面积.ppt

通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ * 10.4 旋转曲面的面积 一 定积分的元素法(或微元法) 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间 step2. 近似： 微元法 step3. 求和： step4. 取极限： 分析： 在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足： 1。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关; 2。对[a,b]具有可加性， 3。 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下： 微元法 step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于[a,b]） step2:取微区间[x,x+dx] 求出 step3: 这种方法称为定积分的元素法或微元法。 微元法 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件: 1。Q是与某一变量x的变化区间[a,b]有关的量； 2。Q对于[a,b]区间具有可加性； 3。局部量 那么，将Q用积分来表达的步骤如下: step1. 选取积分变量及积分区间 step2. 取微区间[x,x+dx]，求出 step3. 微元法 求Ｕ的步骤 分割 用分点 将 　区间分成 n 个小区间 以直线代曲 把Ｕ在小区间上的局部量 用某个函数 f ( x) 在 的值与 之积代替 求和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即 设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上 由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b] 上满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和， （2）局部量可用 近似表示 它们之间只相差一个 的高阶无穷小 不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得 这是建立所求量的积分式的基本方法 求极限 1 求微元 写出典型小区间 上的局部量 的近似值 这就是局部量的微元 2 求积分 即把微元 在区间 [ a , b ] 上 作积分表达式，求它在 [ a , b ] 上的定积分，即 这就是微元法 “无限积累”起来 ，相当于把 例 解:（图一） 弧长微元 x y o 旋转曲面的面积为 二 旋转曲面的面积