无穷大与无穷小.ppt

定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例题1 求 三、 无穷大 注意: 例2 . 证明 四、无穷小与无穷大的关系 内容小结 * 三、 无穷大 四 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 §1.6 无穷小与无穷大 二、 无穷小的运算性质 一、 无穷小 定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小. 当 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的常数. 3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C 其中? 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 无穷小的运算性质 定理2 有限个无穷小之和还是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积还是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积还是无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 有 定理2 有限个无穷小之和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用定理 3 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理4. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * *