高三数学第一轮复习专题四第二讲.doc

第二讲　数列求和及综合应用 1．等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前n项和公式： Sn＝na1＋·d＝. (2)等比数列前n项和公式： ①q＝1时，Sn＝na1； ②q≠1时，Sn＝. 2．数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 3．数列的应用题 (1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决． (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式．  1． (2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　am＝2，am＋1＝3，故d＝1， 因为Sm＝0，故ma1＋d＝0， 故a1＝－， 因为am＋am＋1＝5， 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d ＝－(m－1)＋2m－1＝5， 即m＝5. 2． (2012·福建)数列{an}的通项公式an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于(　　) A．1 006 B．2 012 C．503 D．0 答案　A 解析　用归纳法求解． ∵an＝ncos ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0， a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…. 由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n， 且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2， a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…， a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2. 又2 012＝4×503， ∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋＝2×503＝1 006. 503个3． (2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝. 4． (2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________． 答案　1 830 解析　∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝＝1 830. 5． (2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则： (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋…＋S100＝________. 答案　(1)－　(2) 解析　∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋， ∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋. 当n为偶数时，an－1＝－， 当n为奇数时，2an＋an－1＝， ∴当n＝4时，a3＝－＝－. 根据以上{an}的关系式及递推式可求． a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－， a2＝，a4＝，a6＝，a8＝. ∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…， ∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－ ＝－ ＝. 题型一　分组转化法求和 例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是