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§2-3 安培环路定理 3.1 载流线圈与磁偶极层的等价性 2、安培环路定理的证明 根据毕奥-萨伐尔定律，闭合载流线圈产生的磁场正比于线圈回路对磁场所张的立体角的梯度 3、安培环路定理表达式中各物理量的含义 3.4安培环路定理应用举例 例题6 求圆截面的无限长载流直导线的磁场分布，设导线的半径为R，电流I均匀地通过横截面。（P106） 解 对称性分析 取通过轴线的任意方位的平面II为镜面 载流导线对它们都是镜像对称的 轴矢量的处处与它垂直。所以，磁感应线是一些同轴的圆圈 例题8(P108）绕在环面上的螺线形线圈叫做螺绕环。设环的总匝数为N。通过的电流强度为I，求磁场分布。 托卡马克中豆形截面的螺线管 * * 闭合载流回路 在点 产生的磁感应强度，依据毕奥-萨伐尔公式，为 设想场点 有一微小位移 ,在该点看到的磁感应强度相当于它本身不动而线圈有 的位移，到达 的位置是的磁感应强度。 用 乘以上式得 这里用到了矢量公式 其中 线元 在位移 中扫过的面积 面元的法向n, n点乘 得此面元对场点 所张立体角 的负值 整个线圈 在位移 中扫过的环带面对场点所张立体角 的负值。从而 设想闭合回路 被某个以它为边界的曲面S蒙起来，位移后它到达的位置 闭合面对点所张的立体角为0 线圈 作平移 引起立体角的变化 或场点 作平移 引起立体角的变化 把立体角 看成是场点坐标 的函数，做泰勒展开 于是 由于 是任意的，可以 规定 当穿过回路L的电流方向与回路L的环绕方向服从右手法则时，I0，反之，I0 3.2 安培环路定理的表述和证明 1、安培环路定理的表述 磁感应强度沿任意闭合环路L的线积分，等于穿过这环路所有电流的代数和的μ0 倍。 如果电流I不穿过回路L，则它对上式右端没有贡献 安培回路与载流回路套连 当 和 从两侧无限趋近面 时，立体角之差趋近于 由于 穿过 时B是连续且有限的，当 和 无限趋近时，沿 的积分趋于0 于是得 安培环路不与载流回路套连——环绕它一周立体角回到原值，积分为0 中只包含穿过闭合回路之内的电流 B代表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和 3.3 磁感应强度B是轴矢量 极矢量 与镜面平行的分量不变，垂直的分量反向 轴矢量 与镜面垂直的分量不变，平行的分量反向 两个极矢量叉乘得轴矢量。 如 磁感应强度B是线元和径矢的差乘，是轴矢量 如 径矢、线元、力、电场强度、电偶极矩等 推论 镜面对称的载流系统在镜面处产生的磁感应强度必与该面垂直 对称性理论分析 镜像对称面 证明 在镜面上任一点取直角坐标Oxyz 执行镜像发射变换 ， 载流系统的镜像对称性要求 ， 只有 才能满足两方面的要求，亦即,只有 分量不等于0。 利用安培环路定理计算 取柱坐标 由于导线无限长，它具有沿 轴方向的平移不变性， 只与 有关。 的磁感应线为安培环路，则 根据安培环路定理得 是通过回路的电流。 所以 取半径为 讨论 （1）当 时， （2）当 时， 例题7 求无限长环向电流筒（或者说，无限长密绕螺线管）产生的磁场分布。 设环向电流沿长筒方向的电流分布是均匀的，则无限长环向电流筒对它的任何横截面都是镜像对称的 解 对称性分析 轴矢量 与轴线平行 利用安培环路定理计算 （1）在环向电流筒外 管外 （2）在环向电流筒内 管内 本讨论方法不仅适用于圆形截面的环向电流，而且对于方的、三角形的、或任何异形截面同样适用。 解 对称性分析 密绕螺线环可以看成是在环面上角向连续均匀分布的电流。这种电流的分布具有轴对称性和对于任何通过轴线的平面的镜像对称性 利用安培环路定理计算 在环面内部沿半径为R的磁感应线积分得 环外 若环很细 *