§4.5 曲线的凹向、拐点与渐近线.ppt

微积分四⑤ */25 编 curvilinear cave to with turn to order with asymptote 经 济 数 学 基 础 三、小结 思考题 二、曲线的渐近线 一、曲线的凹向与拐点 微 积 分 学 一、曲线的凹向与拐点 1.1、问题的提出 1.2、曲线凹向的定义 1.3、曲线凹向的判定 1.4、曲线的拐点及其求法 二、曲线的渐近线 2.1、渐近线的定义 1.5、有关拐点的若干话题 2.2、分类 作业：p196 3 (1,2,6);4 (1,3) 2.2、有关渐近线的认识 三、小结 练习：p195 1,2 3 (3,4,5);4 (2,4) 同样是单调上升的曲线, 但却有不同的弯曲方向, 如何研究曲线的弯曲方向？ 曲线向上弯曲的弧段位于其上任一点处切线的上方, 称为上凹. 1.1、问题的提出 曲线向下弯曲的弧段位于其上任一点处切线的下方,称为下凹. ⑴定义4.3 1.2、曲线凹向的定义 若在某个区间内, 曲线弧位于其上任一点的切线上方, 则称曲线在该区间内是上凹的; 若曲线弧位于其上任一点的切线下方, 则称曲线在该区间内是下凹的. 注: 上凹简称凹, 也称下凸; 下凹简称凸, 也称上凸. ⑵图形分析 结论: 利用一阶导数符号来研究函数的增减性; 利用二阶导数的符号来研究函数的凹凸性. 1.3、曲线凹向的判定 证明略。 例1 解 定理4.10 设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数, ⑴若对x∈(a,b),有f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内上凹; ⑵若对x∈(a,b),有f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内下凹. 注意到: 例2.求 y=x4-2x2+3 的凹向区间. 解 列表考察 的符号 + - + 上凹 上凹 下凹 故下凹区间为 ,上凹区间为 从左图可以看出：曲线上有两点为曲线从上凹转为下凹和从下凹转为上凹的分界点，由于在这些点处曲线拐弯，故称这种点为曲线的拐点. 1.4、曲线的拐点及其求法 ⑴曲线的拐点:曲线上连接上凹与下凹的分界点. 注①拐点处二阶导数f(x)=0或f(x)不存在; 注② ⑵求凹向区间,拐点的步骤： ①写出函数的定义域D(y)； ②求出使f(x)=0的点和使f(x)不存在的点； ③由上述点划分定义域为若干区间,在各区间内,若 f(x)0,则为上凹区间; f(x)0, 则为下凹区间; ④若上述各点是不同凹向区间分界点 , 则与该点对 应的曲线上的点就是拐点; 反之则不是拐点. 例3 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例4 解 例5.求曲线 的凹向区间及拐点. 解： + — 上凹 下凹 故 上凹区间： 下凹区间： 拐点 解 列表考察一阶、二阶导数的符号 例6 求 增减、凹向区间、极值与拐点. ,x = 1 不可导点 — + + + — 不可导 — + + 故函数的单增区间为(0,2)，单减区间为 上凹区间 ,下凹区间 ,极小值 极大值 ， 拐点 ①若(a ,f(a))为曲线 y=f(x) 的拐点,则其必在曲线上； ②若y=f(x)二阶可导,且(a ,f(a))为拐点,则必有 ; ③ 的点称驻点， 的点无名份,二者间切莫混. 1.5、有关拐点的若干话题 若 ,函数单增 若 ,函数单减 增减区间 凹向区间 求 或 不存在的点 求 或 不存在的点 上述各点分定义域为若干区间,考察各 符号 上述各点分定义域为若干区间,考察各 符号 若 ,曲线上凹 若 ,曲线下凹 ④求增减区间 与凹向区间方法比较 写出函数的定义域 写出函数的定义域 综上可知：增减凹向四步曲,率先当推定义域; 求得界点列出表, 考察符号全无敌. ⑤ 极值点与拐点比较 若 的两侧 异号 为拐点 若 的两侧 异号 为函数极值点 求 或 不存在的点 求 或 不存在的点 同左 函数的定义域 拐点 极值点 综上可知：一阶导数知升降，二阶导数晓凹向； 极值拐点有